Vektor (matematikk)

En vektor a eller ${\vec {a}}$ forbinder punktene A og B.

En vektor kan i matematikken være en av tre følgende relaterte objekter:

• I geometri, et orientert linjestykke
• En matematisk eller fysisk størrelse definert med en retning, for eksempel en hastighet
• Et element i et vektorrom

Navnet er avledet fra latin vector som betyr «bærer». En geometrisk vektor bærer et punkt over i et annet. En egenskap er vektoriell dersom den kan representeres matematisk med en vektor.

Vektorer brukes i mange deler av matematikk, også i fysikk. I vektorregning studerer en regneregler og operasjoner utført med vektorer. Vektorregning inngår som en del av analytisk geometri og lineær algebra.

Geometriske vektorer

Formell definisjon

En vektor fra A til B.

Mellom to punkt A og B i rommet kan en trekke et rett linjestykke AB. Dersom linjestykket er orientert fra A til B kalles dette en vektor, mange ganger skrevet som

${\overrightarrow {AB}}.$

Ofte brukes bare en enkel bokstav med fet skrifttype v som betegnelse, eller en enkel bokstav med en pil over:

$\mathbf {v} ={\vec {v}}={\overrightarrow {AB}}.$

For å unngå kollisjon med andre tegn, for eksempel for deriverte og potenser, brukes også noen ganger tegnet tilde eller en strek under bokstaven, det vil si ${\underline {v}}$. Dette stammer fra eldre tider da dette tegnet betydde at en boktrykker skulle sette bokstaven med fet skrifttype.

Ofte skrives også vektorer uten noen form for markering, fordi det som regel fremkommer av sammenhengen at størrelsen er en vektor. Dette skyldes både en form for rasjonalisering, i tilfeller der det er upraktisk eller omstendelig å gjenta bruk av fet skrift eller piltegn, og at det kan forenkle lesing av symboler og ligninger.

Begrepet «vektor» tolkes vanligvis som en fri vektor, det vil si en vektor som er fri til å flytte seg ved en parallellforskyvning. To vektorer AB og CD sies å være like eller ekvivalente dersom den ene kan parallellforskyves over i den andre. I notasjon skrives dette som

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}.$

I motsetning til en fri vektor vil en stedvektor eller posisjonsvektor eller radiusvektor alltid starte i origo i koordinatsystemet. Til ethvert punkt i rommet svarer det en entydig stedvektor. En stedvektor brukes ofte som representant for alle vektorer som er ekvivalent med denne. En vanlig betegnelse på en (vilkårlig) stedvektor er bokstaven r.

Basisvektorer og koordinater

Med referanse til et sett av basisvektorer e₁, e₂ og e₃ kan en vilkårlig vektor skrives på koordinatform

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}v_{3}\,$

der v₁, v₂ og v₃ er koordinatene til vektoren med hensyn på den valgte basisen. Ofte skriver en forenklet koordinatvektoren

$\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})\,$.

I lineær algebra blir en vektor ofte oppfattet som en matrise med dimensjon n × 1. Vektoren vil da skrives på matriseform som

$\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}\,$.

I et tredimensjonalt rom med et rettvinklet koordinatsystem er det vanlig å bruke standardbasisen definert ved

$\mathbf {i} =(1,0,0)\quad \mathbf {j} =(0,1,0)\quad \mathbf {k} =(0,0,1)\,$

I planet er standardbasisen definert ved

$\mathbf {i} =(1,0)\quad \mathbf {j} =(0,1)\,$

Lengde

Lengden av en geometrisk vektor skrives ofte som |v| og er definert ved

$|\mathbf {v} |={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}\,$

Generaliseringen av en vektorlengde til et vektorrom kalles en norm og skrives som ||v||. Lengden av en geometrisk vektor svarer til den euklidske normen, også kalt 2-normen. På grunn av denne sammenhengen ser en ofte brukt symbolet ||v|| også som betegnelse på den (euklidske) vektorlengden.

Nullvektoren og enhetsvektorer

Nullvektoren er en vektor der alle koordinatene er lik null. Denne vektoren har ingen retning. Alle vektorer bort sett fra nullvektoren kalles egentlige vektorer.

En enhetsvektor er en vektor med lengde lik 1. En operasjon der en vilkårlig egentlig vektor deles med sin egen lengde kalles å normalisere vektoren, og resultatet av operasjonen er en enhetsvektor:

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}\ \Rightarrow \ |\mathbf {e} |=1\,$

Enhetsvektorer betegnes ofte med bokstavene e eller u («unity»).

Grunnleggende operasjoner

Addisjon av to vektorer a og b

Geometriske vektorer kan adderes ved å legge sammen koordinatene:

$\mathbf {v} +\mathbf {u} =(v_{1}+u_{1},v_{2}+u_{2},v_{3}+u_{3})\,$

Tilsvarende kan en også endre lengden av en vektor ved å multiplisere med en skalar:

$k\mathbf {v} =(kv_{1},kv_{2},kv_{3})\,$

Indreprodukt, prikkprodukt, skalarprodukt

Skalarproduktet mellom to vektorer v og u er et reelt tall definert ved

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {v} |\,|\mathbf {u} |\cos \theta =v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}\,$

Her er $\theta$ vinkelen mellom de to vektorene. Også navnene prikkprodukt og indreprodukt blir brukt som betegnelse.

Skalarproduktet er null dersom de to vektorene står nitti grader på hverandre, og vektorene sies da å være ortogonale. Ved hjelp av skalarproduktet kan lengden av en vektor skrives som

$|\mathbf {v} |={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}\,$

For skalarproduktet til geometriske vektorer gjelder Cauchy–Schwarz’ ulikhet

$|\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq |\mathbf {u} |\,|\mathbf {v} |\,$

Vektorprodukt

Vektorproduktet eller kryssproduktet av to vektorer v og u er en ny vektor definert ved

${\mathbf {v} }\times {\mathbf {u} }=(v_{2}u_{3}-v_{3}u_{2},\,v_{3}u_{1}-v_{1}u_{3},\,v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1})$

Resultatvektoren står nitti grader på begge vektorene som inngår i kryssproduktet.

Trippelprodukt

Parallellepiped utspent av tre vektorer a, b og c.

Det skalare trippelproduktet av tre vektorer a, b og c skrives som (a b c) eller [a b c] og er et reelt tall definert ved

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$

Absoluttverdien av det skalare trippelproduktet er lik volumet av et parallellepiped utspent av de tre vektorene, og produktet kalles derfor også for volumproduktet og romproduktet. Ved hjelp av koordinatene til de tre vektorene og definisjonen av en determinant kan trippelproduktet skrives på forma

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}$

Det vektorielle trippelproduktet er definert som et dobbelt kryssprodukt av alle tre vektorene, det vil si

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\,$

Den følgende relasjonen gjelder for det vektorielle trippelproduktet:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$

Matematiske og fysiske størrelser

I matematikk og fysikk er mange parametre og elementer definert med både størrelse og en retning i rommet. For eksempel kan hastigheten til et objekt være 60 kilometer i timen i retning rett nordover. Slike elementer sies å være vektorielle, det vil si at de kan være representerte ved en geometrisk vektor. Lengden av vektoren representerer da størrelsen til elementet.

I fysikk kan en også definere en tilstandsvektor som beskriver en mulig tilstand for systemet en studerer. Vektoren er sammensatt av koordinater eller komponenter i et tilstandsrom eller faserom. For eksempel kan et enkelt termodynamisk system karakteriseres ved en tilstandsvektor (p,T), der koordinatene er trykket p og temperaturen T til systemet.

Eksempel på vektorielle størrelser

Vektorer definert i det tre-dimensjonale geometriske rommet:

• Akselerasjon, a
• Hastighet til et objekt, v. Størrelsen til hastighetsvektoren kalles farten.
• Kraften som virker på et legeme, F
• Magnetisk feltstyrke, B.
• Tyngdeakselerasjonen, g.

Vektorer definert i tilstandsrom:

• En firevektor i relativitetsteori er en vektor $(ct,x,y,z)$
• I kvantemekanikk brukes en tilstandsvektor for å beskrive kvantetilstanden til et system.
• I klassisk mekanikk kan tilstanden til et system av N partikler beskrives av en tilstandsvektor med 6N komponenter. For hver partikkel har en tre komponenter som beskriver de romlige koordinatene til partikkelen, samt tre koordinater som beskriver impulsene.

Generaliseringer

Elementer i vektorrom

Et vektorrom er en samling av elementer med egenskaper som formaliserer og generaliserer egenskaper til geometriske vektorer. Også vektorer brukt i fysikk kan karakteriseres som elementer i et vektorrom.

Et vektorrom formaliserer kun egenskapene for addisjon og skalarmultiplikasjon av geometriske vektorer. I et vektorrom trenger ikke vektorene være definert med en lengde, og en har heller ikke definert et vinkelbegrep. Strukturen i vektorrommet kan utvides til å omfatte definisjonen av lengde og kalles da for et normert vektorrom. I et indreproduktrom har en også en formalisering av vinkelbegrepet.

Elementer i affine rom

Til et vektorrom V kan en sammen med en mengde M av punkt definere et affint rom der vektorer kan studeres uavhengig av koordinatsystemet. Et affint rom er generelt ikke et vektorrom, men kan betraktes som et vektorrom der en har glemt at det eksisterer en nullvektor. I affine rom vil det generelt være et skille mellom punkt (posisjonsvektor) og (frie) vektorer, og en studerer egenskaper til vektorer som kun avhenger av parallelle linjestykker og lengdeforhold mellom slike. Vektorlengder og vinkler mellom vektorer er ikke definert, og et affint rom er derfor mer generelt enn det euklidske rommet.

Litteratur

• Fr Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8. 

• G.B. Thomas, R.L. Finney (1979). Calculus and analytical geometry. Reading, USA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-07523-7. 

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.