Element absorbujący

Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowym, ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.

Definicja formalna

Niech $(S,\circ )$ będzie zbiorem $S$ z określonym na zbiorze $S$ zamkniętym działaniem dwuargumentowym $\circ$ (grupoid). Element absorbujący (zerowy) jest to taki element $z,$ że dla każdego $s$ należącego do $S,$ $z\circ s=s\circ z=z.$ Wyróżnia się pojęcie zera lewego, gdy wymagane jest jedynie $z\circ s=z$ oraz zera prawego, gdzie wymagane jest tylko $s\circ z=z.$

Elementy absorbujące są szczególnie ciekawe w półgrupach, zwłaszcza w multiplikatywnych półgrupach półpierścienia. W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu absorbującego jest czasem uproszczona tak, że nie jest wymagane by element absorbował 0; wystarcza by 0 było jedynym absorbującym elementem.

Własności

• Jeśli grupoid ma zarówno lewe, jak i prawe zero, to ma zero, ponieważ $z=z\times z'=z'.$
• Jeśli grupoid posiada zero, to ma je tylko jedno.

Przykłady

• Najlepiej znanym przykładem elementu absorbującego w algebrze jest mnożenie, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero. Zero jest więc elementem absorbującym.
• W arytmetyce zmiennoprzecinkowej, według definicji standardu IEEE-754, istnieje wartość „NaN” (z ang. Not A Number; nieliczba). Jest ona elementem absorbującym każdej operacji; np.: x + NaN = NaN + x = NaN, x – NaN = NaN – x = NaN itd.
• Zbiór działań dwuargumentowych na zbiorze $X,$ razem ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie element zerowy jest relacją pustą (zbiorem pustym).
• Zbiór zamknięty $H=[0,1],$ gdzie $x\circ y=\min(x,y)$ jest również monoidem z zerem, w którym elementem absorbującym jest 0.
• Więcej przykładów:

Zbiór	Operacja	Element absorbujący
liczby rzeczywiste	$\cdot$ (mnożenie)	0
liczby całkowite	największy wspólny dzielnik	1
macierze kwadratowe $N\times N$	$\cdot$ (mnożenie)	macierz zerowa
zbiory	$\cap$ (część wspólna)	$\varnothing$ (zbiór pusty)
podzbiory zbioru $M$	$\cup$ (suma)	$M$
logika Boole’a	$\land$ (koniunkcja)	$\bot$ (fałsz)
logika Boole’a	$\lor$ (alternatywa)	$\top$ (prawda)

Bibliografia

• John MackintoshJ.M. Howie John MackintoshJ.M., Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford: Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9, OCLC 32969870 . Brak numerów stron w książce
• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

Linki zewnętrzne

• Absorbing element. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-02-18)]. na PlanetMath
• Absorbing element (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].