Hiperbola (matematyka)

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby:

• definicja planimetryczna jest oparta na dwóch różnych, ustalonych punktach nazywanych ogniskami. Hiperbola to zbiór takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała;
• hiperbola to taka krzywa stożkowa, dla której kąt między płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Przykładowa hiperbola (kolor czerwony); zaznaczono też:
• ogniska ($F_{1},F_{2}$),
• łączącą je oś symetrii (kolor niebieski),
• leżące na niej wierzchołki ($S_{1},S_{2}$),
• asymptoty (kolor zielony),
• środek symetrii ($M$)

Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami.

Równanie hiperboli

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne $(-c,0)$ i $(c,0),$ to można ją opisać równaniem:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

gdzie $a$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast $b$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

$b^{2}=c^{2}-a^{2}.$

Jeżeli $a=b,$ to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

$e={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}}>1.$

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Obierając na hiperboli dowolny punkt $P=(x,y),$ przez $r_{1}$ oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez $r_{2}$ odległość pomiędzy punktem $P$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: $r_{1}=a+ex,\ \ r_{2}=-a+ex,$
• dla lewej gałęzi: $r_{1}=-a-ex,\ \ r_{2}=a-ex.$

Niech $d_{1}$ będzie odległością ustalonego punktu $P$ od lewej kierownicy, a $d_{2},$ odpowiednio – od prawej. Wówczas:

${\frac {r_{1}}{d_{1}}}={\frac {r_{2}}{d_{2}}}=e.$

Powiązane linie proste

Hiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to:

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

$x=\pm {\frac {a}{e}}=\pm {\frac {a^{2}}{c}}.$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie $Q=(p,q)$ hiperboli spełnia równanie

${\frac {px}{a^{2}}}-{\frac {qy}{b^{2}}}=1.$

Hiperbole sprzężone

Przykład hiperbol sprzężonych w kartezjańskim układzie współrzędnych

Hiperbolę o równaniu

$-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej. Hiperbole wzajemnie sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.

Zobacz też

• radionawigacja
• twierdzenie Pascala

Linki zewnętrzne

• Kazimierz Chomicz, Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, deltami.edu.pl [dostęp 2024-11-07] – praca nagrodzona brązowym medalem w 46. Konkursie Prac Uczniowskich z Matematyki, organizowanym przez „miesięcznik „Delta” i Polskie Towarzystwo Matematyczne.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbola, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Hyperbola (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].