Kompleks łańcuchowy

Kompleks łańcuchowy – pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja

Kompleksem łańcuchowym $(A_{\bullet },\partial _{\bullet })$ nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) $\dots ,A_{2},A_{1},A_{0},A_{-1},A_{-2},\dots$ połączony morfizmami $\partial _{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}$ zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość $\partial _{n-1}\partial _{n}=0$ (lub równoważnie $\mathrm {im} \partial _{n}\subset \ker \partial _{n-1}$).

Zapisuje się je zwykle jako:

$\ldots \to A_{n+1}\xrightarrow {\partial _{n+1}} A_{n}\xrightarrow {\partial _{n}} A_{n-1}\xrightarrow {\partial _{n-1}} A_{n-2}\to \ldots \xrightarrow {\partial _{2}} A_{1}\xrightarrow {\partial _{1}} A_{0}\xrightarrow {\partial _{0}} A_{-1}\xrightarrow {\partial _{-1}} A_{-2}\xrightarrow {\partial _{-2}} \ldots$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i $\partial _{n}x$ zapisuje się $\partial x.$

Przykłady

• Dla rodziny kompleksów łańcuchowych $\{K^{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ ich sumą prostą $\bigoplus \limits _{\lambda \in \Lambda }K^{\lambda }$ jest kompleks, w którym:

${\big (}\bigoplus \limits _{\lambda \in \Lambda }K^{\lambda }{\big )}_{n}=\bigoplus \limits _{\lambda \in \Lambda }K_{n}^{\lambda },$

$\partial \{c^{\lambda }\}=\{\partial c^{\lambda }\}.$

Homologie

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu $(A_{\bullet },\partial _{\bullet })$ i każdego $n$ określamy grupy

$Z_{n}(A)=\ker \partial _{n}\quad B_{n}(A)=\mathrm {im} \partial _{n+1},$

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu $(A_{\bullet },\partial _{\bullet }).$ Z definicji kompleksu mamy $B_{n}(A)\subset Z_{n}(A),$ dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu $(A_{\bullet },\partial _{\bullet })$ jako:

$H_{n}(A)=Z_{n}(A)/B_{n}(A).$

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle $z_{n},z'_{n}\in Z_{n}(A)$ są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem $z_{n}-z'_{n}\in B_{n}(A).$ Homologiczną klasę cyklu $z$ oznaczamy przez $[z].$

Przekształcenia łańcuchowe

Przekształceniem łańcuchowym $f_{\bullet }$ między kompleksami $(A_{\bullet },\partial _{\bullet })$ a $(B_{\bullet },\partial '_{\bullet })$ nazywamy ciąg morfizmów $f_{n}\colon A_{n}\to B_{n}$ komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego $n$ zależność

$\partial '_{n}f_{n}=f_{n-1}\partial _{n}.$

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii: $H_{n}f\colon H_{n}(A)\to H_{n}(B).$

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych $f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }$ i $g_{\bullet }\colon B_{\bullet }\to C_{\bullet }$ zdefiniowane jako $(gf)_{n}=g_{n}f_{n}$ jest również przekształceniem łańcuchowym $(gf)_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to C_{\bullet }.$ Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną $\partial {\mathcal {AG}}$.

Homologie definiują funktor

$H\colon \partial {\mathcal {AG}}\to {\mathcal {AG}},$

bo $H_{n}(ff')=H_{n}(f)H_{n}(f')$ i $H_{n}(id_{K})=id_{H_{n}K}.$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast $f_{n}x$ zapisuje się $fx,$ a funktor $H_{n}f$ – jako $f_{*}$ (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci $(ff')_{*}=f_{*}f'_{*}$ i $id_{*}=id$).

Przykłady

• Stożkiem przekształcenia łańcuchowego $f_{\bullet }\colon K_{\bullet }\to L_{\bullet }$ nazywamy kompleks łańcuchowy $Cf_{\bullet },$ w którym:

$(Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},$

$\partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),$ gdzie $(y,x)\in Cf.$

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu $K$ przez odcinek jednostkowy $K\times I,$ gdzie $I=\langle 0;1\rangle$ ściągamy do punktu podstawę iloczynu $K\times \{0\},$ a drugą podstawę $K\times \{1\}$ doklejamy do wielościanu $L$ za pomocą przekształcenia $f\colon K\to L,$ co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów $(X\times I)\sqcup Y$ przez relacje $(x,0)\sim (x',0)$ i $(x,1)\sim f(x)$ dla dowolnych $x,x'\in X.$

• Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego $id_{\bullet }\colon K_{\bullet }\to K_{\bullet }$ nazywa się stożkiem nad kompleksem $K_{\bullet }$ i oznacza się go $CK_{\bullet }.$

Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.

• Jeśli $L_{\bullet }=0,$ to kompleks $Cf_{\bullet }$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez $K_{\bullet }^{+}.$ W kompleksie tym:

$(K^{+})_{n}=K_{n-1},$

$\partial ^{K^{+}}=-\partial ^{K}.$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu $K\times I$ poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: $(x,0)\sim (x',0)$ i $(x,1)\sim (x',1)$ dla dowolnych $x,x'\in X$.

Homotopie łańcuchowe

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe $f=(f_{n})_{n\in \mathbb {N} },g=(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ między kompleksami $(A_{\bullet },\partial _{\bullet })$ a $(B_{\bullet },\partial '_{\bullet }),$ powiemy, że ciąg morfizmów $P_{n}\colon A_{n}\to B_{n+1}$ jest homotopią łańcuchową między $f$ i $g,$ jeżeli spełniona jest zależność

$\partial '_{n+1}P_{n}+P_{n-1}\partial _{n}=f_{n}-g_{n}.$

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach – istotnie, jeżeli $\alpha \in A_{n}$ jest cyklem, to mamy:

$f_{n}(\alpha )-g_{n}(\alpha )=\partial '_{n+1}P_{n}(\alpha )+P_{n-1}\partial _{n}(\alpha )=\partial '_{n+1}P_{n}(\alpha ),$

gdyż $P_{n-1}\partial _{n}(\alpha )=P_{n-1}(0)=0,$ bo $\alpha$ jest cyklem. Stąd $f_{n}(\alpha )-g_{n}(\alpha )$ jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych $A_{\bullet },B_{\bullet },C_{\bullet }$ nazwiemy przekształcenia łańcuchowe $f_{\bullet }=(f_{n})_{n\in \mathbb {N} },g_{\bullet }=(g_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ takie, że dla każdego $n,$ następujący ciąg jest dokładny:

$0\to A_{n}{\xrightarrow {f_{n}}}B_{n}{\xrightarrow {g_{n}}}C_{n}\to 0.$

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można „wyprostować” do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

$\ldots \to H_{n+1}(C)\xrightarrow {\partial '_{n+1}} H_{n}(A)\xrightarrow {f_{n}} H_{n}(B)\xrightarrow {g_{n}} H_{n}(C)\xrightarrow {\partial '_{n}} H_{n-1}(A)\to \dots ,$

gdzie $\partial '_{\bullet }$ są naturalne. Istnienie przekształceń $\partial '_{\bullet }$ można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu. Zobacz też: Ciąg Mayera-Vietorisa.

Przykłady kompleksów łańcuchowych

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy

Mając dowolną przestrzeń topologiczną $X$ możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech $C_{n}(X)$ będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń $\sigma \colon \Delta ^{n}\to X$ z n-sympleksu w $X.$ Określmy operator brzegu przez

$\partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},v_{1},\dots ,{\hat {v_{i}}},\dots ,v_{n}],$

gdzie $[v_{0},v_{1},\dots ,v_{n}]$ oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach $v_{0},v_{1},\dots ,v_{n},$ a ${\hat {v_{i}}}$ oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie $\partial _{n-1}\partial _{n}=0,$ co dowodzi, że $(C(X),\partial )$ jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie $H_{n}(X)$ tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni $X.$

Kompleksy kołańcuchowe

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu $\partial _{n}\colon A_{n}\to A_{n+1}$ podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

$\ldots \to A_{n+1}\xleftarrow {\partial _{n}} A_{n}\xleftarrow {\partial _{n-1}} A_{n-1}\xleftarrow {\partial _{n-2}} A_{n-2}\to \ldots \xleftarrow {\partial _{1}} A_{1}\xleftarrow {\partial _{0}} A_{0}\xleftarrow {\partial _{-1}} A_{-1}\xleftarrow {\partial _{-2}} A_{-2}\xleftarrow {\partial _{-3}} \ldots$

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Bibliografia

• Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972. Brak numerów stron w książce
• Albrecht Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972, seria: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaft. Brak numerów stron w książce
• Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0. Brak numerów stron w książce