Lokalny homeomorfizm

Lokalny homeomorfizm – takie przekształcenie $f\colon X\to Y$ przestrzeni topologicznych, że dla każdego $x\in X$ istnieje takie otoczenie $U_{x}\subseteq X$ punktu $x,$ że

$f|_{U_{x}}\colon U_{x}\to Y.$

jest homeomorfizmem na otwarty podzbiór przestrzeni $Y$.

Przykłady

Powierzchnia Riemanna pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej

• Każdy homeomorfizm jest lokalnym homeomorfizmem.
• Twierdzenie Poincarégo-Volterry:

Jeśli $Y$ jest lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej, a $X$ jest spójną przestrzenią Hausdorffa oraz $p\colon X\to Y$ jest lokalnym homeomorfizmem, to przestrzeń $X$ jest także lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej.

• Projekcja snopa jest lokalnym homeomorfizmem.
• Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.
• Przekształcenie $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ określone wzorem

$\varphi (x)=e^{ix}$

jest lokalnym homeomorfizmem prostej rzeczywistej na okrąg jednostkowy $|z|=1.$ Można je interpretować jako nawijanie prostej na okrąg.

• Dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej $n,$ przekształcenie

$z\mapsto z^{n}$

jest lokalnym homeomorfizmem $\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} \setminus \{0\}.$

• Rzut powierzchni Riemanna funkcji analitycznej

$w={\sqrt[{3}]{z}}$

na płaszczyznę zespoloną jest homeomorfizmem lokalnym.