Przejdź do zawartości

Pierwiastek kwadratowy z 5

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przedstawienia
Dwójkowo 10.0011110001101111...
Dziesiętnie 2.23606797749978969...
Szesnastkowo 2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089…

W listopadzie 2019 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 w systemie dziesiętnym została wyznaczona z dokładnością co najmniej 2 000 000 000 000 cyfr.[2]

Liczba przybliżona 2,236 określa jego wartość z dokładnością 0,01%. Bliskim ułamkiem jest (2,2361 11111...), choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 72, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10000.

Dowód niewymierności

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne oraz że przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi), otrzymuje się skąd Ponieważ jest liczbą podzielną przez 5, to i jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5[a]; stąd liczba jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna dla której Podstawienie tego równania do poprzedniego daje zatem tj. co ponownie oznacza, że liczba a stąd i jest podzielna przez 5.

Skoro tak jak i są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba jest niewymierna.

Geometria

[edytuj | edytuj kod]

Geometrycznie jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między a można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podział

[edytuj | edytuj kod]
Konstrukcja złotego prostokąta

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

jak również jej odwrotności

Przekształcając powyższe wzory, można zauważyć, że

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]
  1. Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą podzielną przez 5. Dowód: (→) Jeśli
    to równość
    oznacza, że jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
    to
    czyli i są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
    Q.e.d.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. (ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A002163 w OEIS)
  2. Alexander Yee, Records Set by y-cruncher [online].