Polilogarytm

Polilogarytm (funkcja Jonquière’a) – funkcja specjalna zdefiniowana w następujący sposób:

$\mathrm {Li} _{\nu }(z)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{\nu }}}$.

Szereg ten jest zbieżny dla $|z|<1$ i dowolnego zespolonego $\nu .$ Z tego względu $z=1$ to punkt osobliwy dla każdego $\mathrm {Li} _{\nu }(z).$

Można także zdefiniować polilogarytm w sposób rekurencyjny:

$\mathrm {Li} _{1}(z)=-\ln {(1-z)},$

$\mathrm {Li} _{n}(z)=\int \limits _{0}^{z}{\frac {\mathrm {Li} _{n-1}(t)}{t}}\,dt$

dla $n=2,3,4,\dots$

Uogólnieniem funkcji jest funkcja przestępna Lercha (ang. Lerch transcendent).

Wykresy $\mathrm {Li} _{\nu }(z)$ na płaszczyźnie zespolonej

$\operatorname {Li} _{-3}(z)$

$\operatorname {Li} _{-2}(z)$

$\operatorname {Li} _{-1}(z)$

$\operatorname {Li} _{0}(z)$

$\operatorname {Li} _{1}(z)$

$\operatorname {Li} _{2}(z)$

$\operatorname {Li} _{3}(z)$

Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

Niektóre własności

• $\mathrm {Li} _{1}(z)=-\ln {(1-z)}$
• $\mathrm {Li} _{2}(z)+\mathrm {Li} _{2}(1-z)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln z\ln {(1-z)}$
• $\mathrm {Li} _{2}(x^{2})=2\left[\mathrm {Li} _{2}(x)+\mathrm {Li} _{2}(-x)\right]$
• $\mathrm {Li} _{2}(-1/x)+\mathrm {Li} _{2}(-x)=-{\frac {1}{6}}\pi ^{2}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}$
• Redukcja do funkcji ζ Riemanna:

  $\mathrm {Li} _{\nu }(1)=\zeta (\nu )$

• Redukcja do funkcji η Dirichleta:

$\mathrm {Li} _{\nu }(-1)=-\eta (\nu )$

• Relacje z funkcja przestępną Lercha (ang. Lerch transcendent):

$Li_{n}(z)=z\Phi (z,n,1)$