Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$ (o dodatnim prawdopodobieństwie) – liczba

$\mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},$

tj. iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń $A$ i $B$ oraz prawdopodobieństwa zdarzenia $B$.

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Przy ustalonym zdarzeniu $B\in {\mathcal {F}}$ o dodatnim prawdopodobieństwie, prawdopodobieństwo warunkowe $\mathbb {P} (A\mid B)$ jest zwykłym prawdopodobieństwem na

${\mathcal {F}}_{B}=\{A\cap B\colon B\in {\mathcal {F}}\},$

stąd bywa oznaczane czasem symbolem $\mathbb {P} _{B}(A)$.

Przykłady

Przykład 1

Mamy dwie urny – w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

$A$ oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała,

$B$ oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie $A,$ to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $A,$ oznaczane przez $\mathbb {P} (B\mid A),$ jest równe 1.

Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech $A$ oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast $B$ zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy:

$\mathbb {P} (A\cap B)={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{\bar {\bar {\Omega }}}},$

$\mathbb {P} (B)={\frac {6\cdot 5\cdot 4}{\bar {\bar {\Omega }}}}$

Z definicji:

$\mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {1}{2}}$

Zdarzenia niezależne

Jeżeli zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, tj. $\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B),$ to $\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A).$

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa
• twierdzenie Bayesa
• warunkowa wartość oczekiwana

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.