Proces Poissona

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa) $(N_{t},\;t\geq 0)$ zdefiniowana w następujący sposób:

$N_{t}={\begin{cases}0,&X_{1}>t\\\sup\{n:X_{1}+\dots +X_{n}\leq t\},&X_{1}\leq t\end{cases}}.$

Gdzie ciąg $(X_{i})_{i=1,2,3...}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem $\lambda .$

Zmienna $X_{i}$ oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a $N_{t}$ to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicje

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności $\lambda$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

(i)

1. $N_{0}=0;$ W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
2. $(N_{t},\;t\geq 0)$ ma przyrosty niezależne.
3. $N_{b}-N_{a}\sim Poiss(\lambda (b-a))\quad dla\quad b>a$ różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

1. $N_{0}=0.$
2. $(N_{t},\;t\geq 0)$ ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
3. $P(N_{h}=1)=\lambda h+o(h).$
4. $P(N_{h}\geq 2)=o(h).$

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci – wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

Własności

Niech $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$ Wtedy $S_{n}$ ma rozkład Erlanga z parametrami $k=n,\ \theta =1/{\lambda }.$

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa