Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe zupełne – równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

$P(x,y)+Q(x,y)\cdot {\frac {dy}{dx}}=0,$

w którym $P(x,y),\ Q(x,y)$ – funkcje ciągłe w pewnym obszarze $D$ i takie, że wyrażenie $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$ jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze $D$ funkcji dwóch zmiennych $F(x,y).$

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja $F(x,y),$ że w każdym punkcie obszaru $D$ zachodzą następujące związki:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=P(x,y),\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}=Q(x,y).$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$ było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym $D$ jest spełnienie równości:

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.$

Przykład

$(\cos x-x\sin x)y\,dx+(x\cos x-2y)\,dy=0$

${\mathcal {L}}={\frac {\partial P}{\partial y}}=\cos x-x\sin x$

${\mathcal {P}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}=\cos x-x\sin x$

Zatem ${\mathcal {L}}=P,$ czyli istnieje $F(x,y)$ taka, że:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=(\cos x-x\sin x)y,$

(1)

${\frac {\partial F}{\partial y}}=x\cos x-2y.$

(2)

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:

$F(x,y)=\int (x\cos x-2y)dy=yx\cos x-y^{2}+\phi (x).$

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=y(\cos x-x\sin x)+\phi '(x),$

$y\cos x-yx\sin x+\phi '(x)=(\cos x-x\sin x)y,$ z równania (1)

stąd:

$\phi '(x)=0,$

zatem:

$\phi (x)=C_{1},$

czyli:

$F(x,y)=xy\cos x-y^{2}+C_{1}=C_{2}$

i upraszczając:

$xy\cos x-y^{2}=C,$ gdzie $C$ to stała.