Relacja symetryczna

Relacja symetryczna – relacja, która jest identyczna z perspektywy wszystkich wchodzących w jej skład elementów. Jeśli zachodzi dla pary $(x,y),$ to zachodzi też dla pary $(y,x).$

Relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się symetryczną, gdy:

$\forall _{x,y\in X}\;(x\;\varrho \;y\Rightarrow y\;\varrho \;x).$

W powyższej definicji można też zamienić implikację $\Rightarrow$ na równoważność $\Leftrightarrow$ – jej znaczenie nie zmieni się. Inna definicja mówi, że relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności: $R^{-1}\subset R.$

Jeśli relacja jest równocześnie symetryczna i antysymetryczna, to zachodzi:

$\forall _{x,y\in X}\;(x\;\varrho \;y\Rightarrow x=y)$

i relacja taka jest wtedy podzbiorem relacji równości.

Przykłady

Relacje symetryczne w matematyce:

• każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru,
• relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość,
• relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe,
• relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów),
• relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo,
• relacje między zbiorami: rozłączność, przecinanie się i równoliczność;
• relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm,
• relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm,
• relacja między krzywymi: homotopia,
• relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość,
• relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie,
• relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności).

Przykłady spoza matematyki:

• relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi,
• izomeria molekuł,
• komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA),
• bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi,
• bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi,
• konkurencja ekologiczna i ekonomiczna,
• symbioza,
• bycie miastami partnerskimi,
• stosunki dyplomatyczne.

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne:

• bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.