Silnia
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40 320 |
9 | 362 880 |
10 | 3 628 800 |
11 | 39 916 800 |
12 | 479 001 600 |
13 | 6 227 020 800 |
14 | 87 178 291 200 |
15 | 1 307 674 368 000 |
16 | 20 922 789 888 000 |
17 | 355 687 428 096 000 |
18 | 6 402 373 705 728 000 |
19 | 121 645 100 408 832 000 |
20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
25 | ∼1,551 121 004 · 1025 |
50 | ~3,041 409 32 · 1064 |
70 | ~1,197 857 167 · 10100 |
100 | ~9,332 621 544 · 10157 |
450 | ~1,733 368 733 · 101000 |
1000 | ~4,023 872 601 · 102567 |
10 000 | ~2,846 259 681 · 1035 659 |
100 000 | ~2,824 229 408 · 10456 573 |
1 000 000 | ~8,263 931 688 · 105 565 708 |
10 000 000 | ~1,202 423 401 · 1065 657 059 |
10100 | ~109,956 570 552 · 10101 |
Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera
Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n
Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników
Wartość 0! określa się osobno[2]:
Definicja rekurencyjna silni ma postać:
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Obliczanie
[edytuj | edytuj kod]Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), nastąpi ono już dla
n = 1 n! = 1 n = 2 n! = 2 n = 3 n! = 6 n = 4 n! = 24 n = 5 n! = 120 n = 6 n! = 720 n = 7 n! = 5040 n = 8 n! = 40320 n = 9 n! = 362880 n = 10 n! = 3628800 n = 11 n! = 39916800 n = 12 n! = 479001600 n = 13 int overflow
Przybliżona wartość
[edytuj | edytuj kod]Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:
Wynika z niego także postać logarytmu silni:
Przydatne jest również oszacowanie:
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
gdzie:
Właściwości
[edytuj | edytuj kod]Wzrost
[edytuj | edytuj kod]Wzrost funkcji silni jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej[3]. Tempo wzrostu jest podobne do ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.
Rozkład silni na czynniki pierwsze
[edytuj | edytuj kod]Lemat
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze:
to
tzn. liczba pierwsza pojawia się z wykładnikiem:
gdzie oznacza część całkowitą liczby
Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni
[edytuj | edytuj kod]Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym przy czym jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
gdzie musi spełniać warunek
Na przykład: 53 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
- zerami.
Jeżeli nierówności są spełnione przez w tym wypadku suma ta daje wynik 0.
Historia
[edytuj | edytuj kod]Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
Zastosowania
[edytuj | edytuj kod]Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:
- analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać
- geometria -wymiarowa, np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy
- kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa
Powiązane ciągi i inne funkcje
[edytuj | edytuj kod]Factorion
[edytuj | edytuj kod]Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[4].
Funkcja gamma
[edytuj | edytuj kod]Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia
Ponieważ więc z powyższego wynika
dla wszystkich liczb naturalnych
Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.
Silnia wielokrotna
[edytuj | edytuj kod]Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
Silnia podwójna
[edytuj | edytuj kod]Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się
Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
Przykład:
Własności podwójnej silni:
zależność od funkcji gamma:
- więc:
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
- ↑ Eric W. Weisstein , Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022 (ang.).
- http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)