Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Sjur Røthe pojawił się 11 listopada 2006 roku, podczas zawodów FIS Race w Beitostølen, gdzie zajął 39. miejsce w biegu na 10 km techniką dowolną. W 2007 roku wystartował na mistrzostwach świata juniorów w Tarvisio, zdobywając srebrny medal w biegu łączonym na 20 km. Na rozgrywanych rok później mistrzostwach świata juniorów w Malles Venosta był między innymi czwarty w sztafecie i piąty w biegu na 10 km stylem klasycznym. Startował także na mistrzostwach świata młodzieżowców w Hinterzarten w 2010 roku, gdzie jego najlepszym wynikiem było siedemnaste miejsce w biegu na 15 km klasykiem.
W Pucharze Świata zadebiutował 14 marca 2005 roku w Trondheim, gdzie nie ukończył biegu na 50 km stylem klasycznym. Pierwsze pucharowe punkty zdobył 21 listopada 2009 roku w Beitostølen, zajmując osiemnaste miejsce w biegu na 15 km stylem dowolnym. Nieco ponad trzy lata później Røthe po raz pierwszy w karierze stanął na podium zawodów PŚ - 13 grudnia 2012 roku w Canmore był drugi w biegu na 15 km klasykiem. Na podium stanął także trzy dni później, kiedy w tej samej miejscowości był trzeci w biegu łączonym. W klasyfikacji generalnej najlepsze wyniki osiągnął w sezonie 2018/2019, który ukończył na trzeciej pozycji, a w klasyfikacji dystansów był drugi. Drugie miejsce w klasyfikacji dystansów zajął też w sezonie 2019/2020.
W 2011 roku wystartował na mistrzostwach świata w Oslo, gdzie zajął między innymi czwarte miejsce na dystansie 50 km techniką klasyczną. Walkę o brązowy medal przegrał ze swym rodakiem Tordem Asle Gjerdalenem o zaledwie 1,7 sekundy. Na tych samych mistrzostwach był czternasty w biegu łączonym na 30 km, a w biegu na 15 km stylem klasycznym zajął 21. miejsce. Dwa lata później, podczas mistrzostw świata w Val di Fiemme wspólnie z Tordem Asle Gjerdalenem, Eldarem Rønningiem i Petterem Northugiem był najlepszy w sztafecie. Zdobył tam też brązowy medal w biegu łączonym na 30 km, w którym wyprzedzili go tylko Dario Cologna ze Szwajcarii oraz kolejny Norweg - Martin Johnsrud Sundby. Na mistrzostwach świata w Seefeld w 2017 roku zwyciężył w biegu łączonym i sztafecie, a na dystansie 50 km techniką dowolną był trzeci. Ponadto zajął trzecie miejsce w biegu łączonym podczas mistrzostw świata w Planicy w 2023 roku. Zajął też między innymi piąte miejsce w biegu na 50 km stylem dowolnym na rozgrywanych w 2022 roku w igrzyskach olimpijskich w Pekinie.