Skala alefów

Skala alefów – ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi. Oznaczenie „alef” na moc zbioru nieskończonego zostało wprowadzone przez Georga Cantora.

Definicja formalna

Przy założeniu aksjomatu wyboru mówi się, że liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową (albo liczbą kardynalną), jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha \in {\mathbf {ON} }$ definiujemy ciąg $\langle \aleph _{\alpha }\colon \,\alpha \in {\mathbf {ON} }\rangle$ (jest to klasa właściwa):

• $\aleph _{0}$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową
• $\aleph _{\alpha +1}$ jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od $\aleph _{\alpha }$
• jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną, to

$\aleph _{\gamma }=\sup \limits _{\alpha <\gamma }\aleph _{\alpha }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\aleph _{\alpha }.$

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie $\omega _{\alpha }$ na $\aleph _{\alpha }.$ Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić, że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową, a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis „$\omega _{\alpha }$” oznacza często $\alpha$-tą początkową liczbę porządkową z porządkiem, natomiast „$\aleph _{\alpha }$” to ten sam zbiór, ale bez struktury porządkowej.

Przykłady

Alef zero, pierwsza nieskończona liczba kardynalna

• $\aleph _{0}$ (też nazywane $\omega$ lub $\omega _{0}$) jest licznością zbioru liczb naturalnych. $\aleph _{0}$ jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną.
• $\aleph _{1}$ (też nazywane $\omega _{1}$) jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
• $\aleph _{\aleph _{0}}$ (zwykle nazywane $\aleph _{\omega }$) jest najmniejszą liczbą, która jest większa niż $\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\dots$ Innymi słowy, $\aleph _{\omega }$ jest pierwszą liczbą $\kappa$ z własnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejszych od $\kappa .$
• $\aleph _{\omega _{1}}$ jest pierwszą liczbą $\kappa$ z własnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb kardynalnych mniejszych od $\kappa .$

Własności

• W aksjomatyce Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
• Istnieją liczby porządkowe $\alpha$ takie że $\alpha =\aleph _{\alpha }$ (są to tzw. punkty stałe skali alefów). Jeśli $\aleph _{\alpha }$ jest liczbą nieosiągalną, to $\aleph _{\alpha }=\alpha ,$ ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu $\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\dots$
• Hipoteza continuum mówi, że zbiór $\mathbb {R}$ jest równoliczny z $\aleph _{1}.$
• $\aleph _{\omega }$ ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu, jakie wartości może mieć $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}.$ Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków Saharon Szelach podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:

$\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}\leqslant 2^{\aleph _{0}}+\aleph _{\omega _{4}}.$

Znak ℵ (alef)

Alef jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego. Symbol ℵ używany w matematyce często reprezentowany jest jednak w systemach komputerowych inaczej niż litera hebrajska, między innymi z powodu innego kierunku pisma (od lewej do prawej w przypadku formuł matematycznych i od prawej do lewej w przypadku tekstu hebrajskiego).

• W standardzie Unicode matematyczny symbol ℵ reprezentowany jest kodem U+2135 (&#8501; w HTML/XML), podczas gdy litera hebrajska kodem U+05D0 (&#1488; w HTML/XML).
• W systemie składu tekstu LaTeX symbol alef reprezentowany jest sekwencją kontrolną \aleph. Np. \aleph_0 daje w druku $\aleph _{0}.$

Bibliografia

• Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 29–33. ISBN 3-540-44085-2.