Torus (matematyka)

Torus z pokazanym najprostszym podziałem, pozwalającym obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1)

Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go. Często oznacza się go symbolem $\mathrm {T} ^{2}$ lub $\mathbb {T} ^{2}.$

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje

Niech okrąg definiujący torus ma promień $r,$ oś obrotu pokrywa się z osią $OZ$ układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi $R$ oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie $OXY.$

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

$\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.$

Pole powierzchni torusa jest równe:

$S=4\pi ^{2}rR,$

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa:

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}.$

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $xz$ o środku w punkcie $\left(R,\ 0,\ 0\right)$ i promieniu $r,$ gdzie $R>r>0.$ Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

$f(\alpha )=(R+r\cos \alpha ,\ 0,\ r\sin \alpha ).$

Obróćmy ten okrąg o kąt $\beta$ wokół osi $z.$ W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

$U_{\beta }={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Zatem:

$p\left(\alpha ,\ \beta \right)=U_{\beta }\cdot f^{T}(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}R+r\cos \alpha \\0\\r\sin \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left(R+r\cos \alpha \right)\cos \beta \\\left(R+r\cos \alpha \right)\sin \beta \\r\sin \alpha \end{bmatrix}}.$

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

$p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}(R+r\cos \alpha )\cos \beta ,\ (R+r\cos \alpha )\sin \beta ,\ r\sin \alpha {\Big )}.$

Krzywizna Gaussa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}g(\alpha ),\ h(\alpha )\cos \beta ,h(\alpha )\sin \beta {\Big )}$ w punkcie $P=p(\alpha ,\ \beta )$ można wyznaczyć ze wzoru:

$K_{P}={\frac {g'\left(g''h'-h''g'\right)}{h\left(g'^{2}+h'^{2}\right)^{2}}}.$

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

$h(\alpha )=R+r\cos \alpha ,\qquad g(\alpha )=r\sin \alpha .$

Stąd:

$h'(\alpha )=-r\sin \alpha ,\qquad g'(\alpha )=r\cos \alpha ;$

$h''(\alpha )=-r\cos \alpha ,\qquad g''(\alpha )=-r\sin \alpha .$

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

$K_{P}={\frac {\cos \alpha }{r(R+r\cos \alpha )}}.$

Zauważmy, że:

• dla $-{\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}$ mamy $\cos \alpha >0,$ czyli $K_{P}>0$ na zewnętrznej stronie torusa;
• dla $\alpha =-{\tfrac {\pi }{2}},\;\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}$ mamy $\cos \alpha =0,$ czyli $K_{P}=0$ na górze i dole torusa;
• dla ${\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}$ mamy $\cos \alpha <0,$ czyli $K_{P}<0$ po wewnętrznej stronie torusa;
• gdy $\alpha =0,$ wówczas $K_{P}$ przyjmuje maksimum, tj. $K(0)={\tfrac {1}{r(R+r)}}$ na największym okręgu (równoleżniku);
• gdy $\alpha =\pi ,$ wówczas $K_{P}$ przyjmuje minimum, tj. $K(\pi )={\tfrac {-1}{r(R-r)}}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową $\mathbb {R} ^{2}/\sim ,$ gdzie $\sim$ jest relacją równoważności określoną następująco:

$(x,y)\sim (x',y')\Leftrightarrow x-x'\in \mathbb {Z} ,y-y'\in \mathbb {Z} .$

Wynika stąd istnienie odwzorowania $p:\mathbb {R} ^{2}\to T^{2},$ $f(x,y)=[(x,y)]_{\sim },$ które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji $\sim$ i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz też

• toroid
• genus

Bibliografia

• Torus, [w:] Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 285-286, ISBN 83-02-02551-8 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Torus, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Torus (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].