Przejdź do zawartości

Twierdzenie Stolza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Stolza, twierdzenie Stolza-Cesàro[potrzebny przypis] – twierdzenie analizy matematycznej o zbieżności pewnych ciągów liczb rzeczywistych. Nazwa pochodzi od nazwisk matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro[potrzebny przypis], choć szczególny przypadek udowodnił wcześniej Augustin Louis Cauchy[1].

Twierdzenie to jest odpowiednikiem reguły de l’Hospitala, która opisuje podobne symbole nieoznaczone dla granic funkcji[2].

Twierdzenie

[edytuj | edytuj kod]

Niech będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym:

  • ciąg jest rosnący i rozbieżny do nieskończoności
  • istnieje granica – skończona lub nie – ciągu

Wówczas[1][3]:

Równość zachodzi także, gdy zbiegają do zera, a jest ściśle monotoniczny[2].

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli    to jest kombinacją wypukłą liczb

Dowód

Teza Lematu wynika z tego, że oraz

Przypadek zbieżności

[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że ciąg jest zbieżny do pewnej liczby Niech Wówczas istnieje liczba taka, że

dla Ustalmy Na podstawie lematu dla i otrzymujemy, że

jest kombinacją wypukłą liczb dla Zatem

Stąd, oczywiście, otrzymujemy

dla Dalej mamy

Zatem z faktu, że otrzymujemy

Z uwagi na to, że znajdziemy liczbę taką, że dla Czyli

dla każdego co daje tezę.

Przypadek granicy niewłaściwej

[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy teraz, że ciąg ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy Jeśli granica jest równa dowód przebiega analogicznie.

Zauważmy, że implikuje Pokażemy, że oraz jest rosnący. Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że To wobec założenia oznaczać będzie, że dla dostatecznie dużych a w konsekwencji

Z faktu wynika istnienie liczby takiej, że

dla każdego Wówczas

dla

Gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia o monotoniczności . Mamy , czyli jest rosnący.

Dodając powyższe nierówności dla otrzymujemy

Po uproszczeniu obu stron uzyskujemy

Stąd dla dowolnego prawdziwa jest nierówność:

Ponieważ to co kończy dowód.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli ciąg jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych wyrazów jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznie[4]:

Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro; dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.

Dowód: zdefiniujmy i Zauważmy, że oraz Zatem więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

[edytuj | edytuj kod]

Ustalmy Niech Rozważmy ciąg:

Zauważmy, że oraz

Aby obliczyć granicę ciągu skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:

Wobec tego[5][3]:

Twierdzenie Stolza nie daje się odwrócić, tzn. ze zbieżności ciągu nie wynika zbieżność ciągu [6]. Pokazuje to przykład:

Niech i dla Wówczas oraz Zatem Z drugiej strony
i
To pokazuje, że ciąg nie jest zbieżny[potrzebny przypis].

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]