Współrzędne jednorodne

Współrzędne jednorodne – sposób reprezentacji punktów $n$-wymiarowej przestrzeni rzutowej za pomocą układu $n+1$ współrzędnych. Pojęcie to opiera się na konstrukcji przestrzeni rzutowej, w której $n$-wymiarową przestrzeń euklidesową $E^{n}$ uzupełnia się o kierunki zwane punktami w nieskończoności lub punktami niewłaściwymi.

Jeśli punkt właściwy ma współrzędne kartezjańskie $(x_{1},x_{2},\dots x_{n}),$ to jego współrzędne jednorodne mają postać $(x_{1},x_{2},\dots x_{n},1).$ Np. punkt na płaszczyźnie o współrzędnych kartezjańskich $(x,y)$ ma zarazem współrzędne jednorodne postaci $(x,y,1);$ podobnie punkt w przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych kartezjańskich $(x,y,z)$ ma współrzędne jednorodne $(x,y,z,1).$

Odwrotnie – punkt właściwy o współrzędnych jednorodnych $(x_{1},x_{2},\dots x_{n},z)$ i $z\neq 0$ ma współrzędne kartezjańskie postaci $\left({\frac {x_{1}}{z}},{\frac {x_{2}}{z}},\dots ,{\frac {x_{n}}{z}}\right).$ Jeśli natomiast $z=0,$ to jest to punkt w nieskończoności i nie istnieją dla niego współrzędne kartezjańskie. Żaden punkt nie może mieć współrzędnych jednorodnych $(0,0,\dots 0,0).$

Dwa układy $(x_{1},x_{2},\dots x_{n+1})$ i $(y_{1},y_{2},\dots y_{n+1})$ są współrzędnymi jednorodnymi tego samego punktu, gdy jeden z tych układów jest wielokrotnością drugiego, tj. $x_{i}=k\cdot y_{i}$ dla pewnego $k\in \mathbb {R} ,k\neq 0.$ Inaczej mówiąc, każdy punkt (właściwy lub niewłaściwy) można reprezentować na nieskończenie wiele sposobów we współrzędnych jednorodnych i wszystkie te reprezentacje są do siebie proporcjonalne.

Współrzędne jednorodne zostały wprowadzone do geometrii w 1827 przez Augusta Möbiusa w pracy Der barycentrische Calcul. W 1946 E. Maxwell użył ich do rozwiązywania problemów związanych z rzutowaniem. Są narzędziem do stosowania metod analitycznych w przestrzeniach rzutowych. Ze względu na kilka zalet znalazły też zastosowanie w grafice komputerowej.

Zastosowania w grafice komputerowej

Przekształcenia macierzowe

W roku 1965 L. Roberts zauważył, że współrzędne jednorodne znakomicie nadają się do macierzowego opisu przekształceń w przestrzeniach $n$-wymiarowych.

Podstawowymi przekształceniami stosowanymi w grafice są: skalowanie, obrót, pochylenie i translacja. Zapis macierzowy wszystkich tych przekształceń przedstawia się następująco (przykład dla dwóch wymiarów):

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A\cdot X+T={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}x+a_{12}y+t_{x}\\a_{21}x+a_{22}y+t_{y}\end{bmatrix}},$

gdzie macierz $A$ zawiera skumulowane informacje o obrocie, skalowaniu i pochyleniu, natomiast wektor $T$ przesunięcie. Stosując współrzędne jednorodne, można za pomocą macierzy 3x3 przedstawić wszystkie przekształcenia:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\W'\end{bmatrix}}=A\cdot X={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&t_{x}\\a_{21}&a_{22}&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\W\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}x+a_{12}y+t_{x}W\\a_{21}x+a_{22}y+t_{y}W\\W\end{bmatrix}}.$

Macierz będąca iloczynem dowolnej liczby macierzy reprezentujących różne przekształcenia zawiera złożenie tych przekształceń. Dzięki temu zamiast osobno wykonywać kolejne przekształcenia $x'=x\cdot M_{1},x''=x'\cdot M_{2},\dots ,x^{(n)}=x^{(n-1)}\cdot M_{n},$ można najpierw wykonać mnożenie odpowiednich macierzy $M=M_{1}\cdot M_{2}\cdot \ldots \cdot M_{n},$ później zaś używać wynikowej macierzy $x'=x\cdot M.$ Czyli zamiast wykonywać $n$ mnożeń punktu przez macierze, to samo uzyskuje się jednym mnożeniem punktu przez macierz, dzięki uprzedniemu wykonaniu $n-1$ mnożeń macierzy.

Za pomocą macierzy przekształceń we współrzędnych jednorodnych można także zwięźle opisać rzut perspektywiczny:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\W'\end{bmatrix}}=M\cdot X={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&{\frac {1}{d}}&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\z\\W\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\{\frac {z}{d}}\end{bmatrix}}.$

Przy przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się: $\left[{\frac {x}{z/d}},{\frac {y}{z/d}},d\right]^{T}.$

Obcinanie

W grafice trójwymiarowej istotnym elementem wizualizacji jest obcinanie sceny trójwymiarowej do tzw. ostrosłupa widzenia. Jest to ostrosłup (dokładnie: ostrosłup ścięty) zdefiniowany przez wirtualną kamerę, w obrębie którego znajdują się obiekty widoczne w danym rzucie. Jednak obcinanie względem ostrosłupa widzenia jest dość skomplikowane obliczeniowo, dlatego można przekształcić ostrosłup widzenia w sześcian. Obcinanie względem sześcianu jest bardzo efektywne, jednak aby po takim przekształceniu zapewnić poprawność wyników, obcinanie musi zostać wykonane we współrzędnych jednorodnych. Jest to powszechnie stosowane podejście w rozwiązaniach sprzętowych.

Także obcinanie wymiernych krzywych B-sklejanych we współrzędnych trójwymiarowych może nie dać prawidłowych wyników, natomiast obcinanie we współrzędnych jednorodnych gwarantuje poprawność wyniku.