Wzór Leibniza

Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć $n$-tą pochodną iloczynu funkcji. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór

Niech $f$ i $g$ będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu $n$ włącznie. Wtedy pochodna $n$-tego rzędu iloczynu $f\cdot g$ wyraża się wzorem:

$(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)},$

(1)

gdzie $n \choose k$ to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a $f^{(0)}:=f.$ Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:

$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leqslant \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).$

Dowód

Wzór

${\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$

udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na $n.$

Dla $n=1$ otrzymujemy:

${\frac {df(x)g(x)}{dx^{2}}}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x),$

$f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)=f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x).$

Teraz udowodnimy ten wzór dla $n+1,$ przy założeniu, że jest on spełniony dla $n$

${\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}={\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)\\&=\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right).\end{aligned}}$

Weźmy teraz dla pierwszego członu $i'=i+1.$

${\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&=\left(\sum _{i'=1}^{n+1}{n \choose i'-1}f^{(i')}(x)g^{(n-i'+1)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right)\\&=\sum _{i=0}^{n+1}\left({n \choose i-1}+{n \choose i}\right)f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)=\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x).\end{aligned}}$

Uogólnienie

Istnieje podobny wzór, zachodzący dla $r$ funkcji $f_{1},\dots ,f_{r}$ różniczkowalnych i mających pochodne aż do $n$-tego rzędu włącznie. Pochodna $n$-tego rzędu iloczynu $f_{1}\ldots f_{r}=\Pi _{i=1}^{r}f_{i}$ wyraża się wzorem:

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)=\sum _{n_{1}+\ldots +n_{r}=n}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x),$

(2)

gdzie

${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}:={\frac {n!}{n_{1}!,n_{2}!,\dots ,n_{r}!}}$

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje $n.$

Dowód

Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na $r.$ Dla $r=2$ wzór (2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1):

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{2}f_{i}(x)&=\sum _{n_{1}+n_{2}=n}{n \choose n_{1},n_{2}}\prod _{i=1}^{2}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{n \choose n_{1},(n-n_{1})}{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{1}!\,(n-n_{1})!}}\,{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x).\end{aligned}}$

Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $r>2.$ Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla $r+1$ funkcji $f_{1},\dots ,f_{r},\,f_{r+1}.$ Na początek zapiszmy

$\prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)=\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right).$

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, $f_{r+1}$ oraz $\prod _{i=1}^{r}f_{i}{:}$

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)$

(wyrażenie $n_{r+1}$ odgrywa rolę wskaźnika $i$ i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

$\left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x).$

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)\\&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}\left({n \atop n_{r+1}}\right){n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).\end{aligned}}$

Korzystając z faktu, że dla liczb $n,\,n_{1},\,\dots ,n_{r},\,n_{r+1}$ zachodzi

${n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}{n \choose n_{r+1}}={\frac {(n-n_{r+1})!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r}!}}\,{\frac {n!}{n_{r+1}!\,(n-n_{r+1})!}}={\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r+1}!}}={n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r},n_{r+1}},$

otrzymujemy

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).$

Dla ustalonego $n_{r+1}$ ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci

$\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).$

Dla ustalonego $n_{r+1},$ sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach $n_{1},\dots ,n_{r},$ których suma daje $n-n_{r+1}.$ Ale ponieważ robimy tak dla każdego $n_{r+1},$ od 0 do $n,$ to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach $n_{1},\dots ,n_{r},n_{r+1},$ których suma daje $n$ i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\+n_{r+1}=n\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right),$

co kończy dowód indukcyjny.

Bibliografia

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. XVI. Warszawa: 1979. Brak numerów stron w książce
• Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: PWN, 2006, s. 196. ISBN 978-83-01-14764-8.
• Gottfried W. Leibniz: Symbolismus memorabilis calculi Algebraici et Infinitesimalis, in comparatione potentiarum et differentiarum; et de Lege Homogeneorum Transcendentali. W: Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, ex scriptis Societati Regiae scientarum. 1710, s. 160–165.

Linki zewnętrzne

• Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-23].
• Leibniz rule (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
• PlanetMath: Generalizations of the Leibniz rule. (ang.).