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[[Imagem:Set intersection.png|thumb|Representação gráfica da interseção entre dois conjuntos]]
Em [[teoria dos conjuntos]], a {{PBPE-AO|interseção|intersecção|interseção'''<ref>{{citar web|url=http://www.portaldalinguaportuguesa.org/index.php?action=lemma&lemma=1810|título=interseção (nome)|autor=ILTEC|autorlink=Instituto de Linguística Teórica e Computacional|data=|publicado=[[Portal da Língua Portuguesa]]|acessodata=24 de Fevereiro de 2011}}</ref> ou '''intersecção}},<ref>{{citar web|url=http://www.portaldalinguaportuguesa.org/index.php?action=lemma&lemma=103691|título=intersecção (nome)|autor=ILTEC|autorlink=Instituto de Linguística Teórica e Computacional|data=|publicado=[[Portal da Língua Portuguesa]]|acessodata=24 de Fevereiro de 2011}}</ref> é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por '''∩.'''

Por exemplo, se o conjunto A possui os [[Tabela periódica|elementos]] {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então interseção do conjunto A com o conjunto B será igual a {2,4} .

== Definição ==
Pela [[teoria básica de conjuntos]], define-se <math>A \cap B</math> por:

<math display="block">A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}</math>

Pelos [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], a definição acima não é valida. Devemos usar o [[axioma da separação]] com a fórmula <math>\Phi = x \in w_1:</math>

<math display="block">\forall z \forall w_1 \exists y \forall x (x \in y \iff ( x \in z \land x \in w_1) )</math>

Esse axioma garante a existência da interseção (<math>y = z \cap w_1</math>); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o [[axioma da extensão]], pode-se mostrar que y é único.

Em outras palavras, provou-se que

<math display="block">\forall A \forall B \exists ! (A \cap B) \forall x (x \in (A \cap B) \iff (x \in A \land x \in B))</math>

== Propriedades ==
Considerando-se que <math>(x \in A \land x \in B) \iff (x \in B \land x \in A)</math> e que <math>((x \in A \land x \in B) \land x \in C) \iff (x \in A \land (x \in B \land x \in C)),</math> prova-se que:

<math display="block">\forall A \forall B (A \cap B = B \cap A)</math>

<math display="block">\forall A \forall B \forall C ((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C))</math>

Como o conjunto vazio <math>\varnothing</math> tem a propriedade que <math>\forall x (x \notin \varnothing),</math> temos que:

<math display="block">\forall A (A \cap \varnothing = \varnothing)</math>

Deve-se tomar cuidado ao dizer que <math>\cap</math> é [[associatividade|associativa]] e [[comutatividade|comutativa]], porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de [[operação binária|operações binárias]], e a interseção foi definida para ''todos'' conjuntos - tratar ''todos'' conjuntos como um conjunto gera [[paradoxo]]s.

== Interseções arbitrárias ==
Seja ''M'' uma coleção não-vazia de conjuntos (em [[teoria dos conjuntos]] na sua formulação segundo os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que ''M'' não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de ''M'':

<math display="block">\bigcap_{X \in M} X.</math>

como sendo o conjunto cujos elementos ''x'' são elementos de todos os elementos de M:

<math display="block"> x \in \bigcap_{X \in M} X \iff (\forall Y \in M \implies x \in Y)</math>

O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o [[axioma da união]]:

<math display="block"> \bigcap_{X \in M} X = \{ x \in \bigcup_{X \in M} X | (\forall Y \in M \implies x \in Y) \}</math>

{{Referências}}

== Ver também ==
* [[União (matemática)]], representada por um símbolo parecido com o da interseção.

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]