Klein 4

Em matemática, o Grupo de Klein (conhecido como Klein 4) é o grupo isomorfo a $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$. Com quatro elementos, é o menor grupo não-cíclico. Recebeu o nome Vierergruppe por Felix Klein em 1884. Além de sua aparição na teoria de grupos, temos que o grupo de Klein também surge em outras áreas, como na geometria algébrica.

Tábua da operação definida em um grupo de Klein.

O grupo de Klein é usualmente representado por $V=\{a,b,c,e\}$ e cada elemento, operado consigo mesmo, corresponde ao elemento neutro $e$, enquanto a operação entre dois elementos não-neutros distintos resulta no outro elemento não-neutro (por exemplo, $a*b=c$), ou seja, $V=\{a,b|a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\}$.

Também pode ser visto como o grupo gerado pela diferença simétrica entre as partes de um conjunto de dois elementos. Neste caso, o conjunto vazio é o elemento neutro.

Os elementos do grupo de Klein podem ser permutados. Assim, o grupo de automorfismos do grupo de Klein é isomorfo a $S_{3}$, o grupo de permutações entre três elementos.

Geometricamente, em duas dimensões o grupo de Klein corresponde ao grupo de simetria de um losango ou um retângulo propriamente dito, e seus elementos são a identidade, a reflexão vertical, a reflexão horizontal e a rotação de 180°.

Em três dimensões, existem três grupos de simetria diferentes que correspondem ao grupo de Klein.

Grupo abelianos de ordem $p^{2}\,$, com $p\,$ primo, são necessariamente abelianos. Além disso, ou são cíclicos ou são produto de dois cíclicos. Assim, para cada $p\,$ primo, há (além de isomorfismos) apenas dois grupos de ordem $p^{2}\,$: um cíclico e o outro é o produto de dois grupos cíclicos de ordem $p\,$. No caso de $p=2\,$, só existem dois grupos de ordem $p^{2}=4\,$ : o grupo de Klein, que é isomorfo ao produto de cíclicos, e o grupo cíclico de ordem $4\,$- isomorfos ao grupo $\mathbb {Z} _{4}$.

Seja $G=\{-1,1\}$ um grupo multiplicativo. Note que $(G\times G,\cdot )$ é um grupo abeliano isomorfo ao grupo de Klein, com a multiplicação coordenada a coordenada. Além disso, tomando $G^{n}=G\times \cdots \times G$, temos que vários subgrupos de $G^{n}$ são isomorfos ao grupo de Klein.

Ver Também

• Grupos cíclicos
• Teoremas de Sylow
• Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)