Nilpotente

Em matemática, um elemento x de um anel é nilpotente quando existe algum número natural n tal que $x^{n}=0\,$.

Definição

Um inteiro positivo $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{m}^{a_{m}}$, $p_{i}$ distinto, tem fatorização nilpotente se, e somente se, $p_{i}^{k}\not \equiv 1~(mod~p_{j})$ para todos os inteiros i, j e k com $1\leq k\leq a_{i}$. Um inteiro positivo n é um número nilpotente se, e somente se, possui fatorização nilpotente.

Exemplo

• A matriz

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

é nilpotente porque A³ = 0.

• No anel $\mathbb {Z} _{9}$ a classe de equivalência de 3 é nilpotente, pois $3^{2}\equiv 0~(mod~9)$