Formă biliniară

Fie V un spațiu vectorial peste un corp comutativ K. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație $g:V\times V\rightarrow K$ liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:

1. $g(\alpha x+\beta y,\;z)=\alpha g(x,z)+\beta g(y,z);$
2. $g(x,\;\alpha y+\beta z)=\alpha g(x,y)+\beta g(x,z);$

pentru orice $\forall x,y,z\in V$ și orice $\alpha ,\beta \in K.$

Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V, prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor, formează un spațiu vectorial peste K numit spațiul dual.

Exemple

Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe $\mathbb {R} ^{n},$ adică aplicația $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ definită prin: pentru orice $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ și $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),$

$\langle x,y\rangle =x_{1}y_{2}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos).

Reprezentare matricială

Fie $V_{n}$ un spațiu vectorial n-dimensional și $B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ o bază a lui $V_{n}$. Fie x și y doi vectori oarecare $\textstyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ și $\textstyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}.$ Atunci, expresia formei biliniare g est dată de:

$g(x,y)=g{\Big (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;y{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},y)$

$=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g{\Big (}e_{i},\;\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},e_{j})\,y_{j}$

$=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\,x_{i}\,y_{j},$

unde s-a notat: $a_{ij}=g(e_{i},e_{j}).$

Proprietăți

O formă biliniară $g:V\times V\rightarrow K$ se numește:

• simetrică dacă $\forall x,y\in V,\;g(x,y)=g(y,x).$
• antisimetrică dacă $\forall x,y\in V,\;g(x,y)=-g(y,x).$
• definită dacă $g(x,x)=0\implies x=0.$

Dacă corpul comutativ K este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală $\leq$ pe K — atunci $g$ se numește:

• pozitivă dacă $\forall x\in V,\;g(x,x)\geq 0$.

Vezi și

• Formă pătratică
• Spațiu metric

Legături externe

• en Wolfram MathWorld
• fr Math.Unice.fr Arhivat în 4 martie 2016, la Wayback Machine.