Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица $A^{T}$, полученная из исходной матрицы $A$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы $A$ размеров $m\times n$ — матрица $A^{T}$ размеров $n\times m$, определённая как $A_{ij}^{T}=A_{ji}$.

Например,

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

$(A^{T})^{T}=A$

• Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

• Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

• При транспонировании можно выносить скаляр.

$(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

$\det A=\det A^{T}$

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению $S^{T}=S$.

Для того чтобы матрица $S$ была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица $S$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть $S_{ij}=S_{ji}$.

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению $A^{T}=-A$.

Для того чтобы матрица $A$ была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица $A$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть $A_{ij}=-A_{ji}$.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: $A_{ii}=0$.

Для любой квадратной матрицы $M$ имеется представление $M=S+A$,

где $S={\frac {M+M^{T}}{2}}$ — симметричная часть, $A={\frac {M-M^{T}}{2}}$ — антисимметричная часть.

См. также

• Сопряжённо-транспонированная матрица