Алгоритм Диница
Алгоритм Диница — полиномиальный алгоритм для нахождения максимального потока в транспортной сети, предложенный в 1970 году советским (впоследствии израильским) математиком Ефимом Диницем. Временная сложность алгоритма составляет . Получить такую оценку позволяет введение понятий вспомогательной сети и блокирующего (псевдомаксимального) потока. В сетях с единичными пропускными способностями существует более сильная оценка временной сложности: .
Описание
[править | править код]Пусть — транспортная сеть, в которой и — соответственно пропускная способность и поток через ребро .
- Остаточная пропускная способность — отображение определённое как:
- Если ,
- иначе.
- Если ,
- Остаточная сеть — граф , где
- .
- Дополняющий путь — путь в остаточном графе .
- Пусть — длина кратчайшего пути из в в графе . Тогда вспомогательная сеть графа — граф , где
- .
- Блокирующий поток — поток такой, что граф с не содержит пути.
Алгоритм
[править | править код]Алгоритм Диница
- Вход: Сеть .
- Выход: поток максимальной величины.
- Установить для каждого .
- Создать из графа . Если , остановиться и вывести .
- Найти блокирующий поток в .
- Дополнить поток потоком и перейти к шагу 2.
Анализ
[править | править код]Можно показать, что каждый раз число рёбер кратчайшем пути из источника в сток увеличивается хотя бы на единицу, поэтому в алгоритме не более блокирующих потоков, где — число вершин в сети. Вспомогательная сеть может быть построена обходом в ширину за время , а блокирующий поток на каждом уровне графа может быть найден за время . Поэтому время работы алгоритма Диница есть .
Используя структуры данных, называемые динамические деревья, можно находить блокирующий поток на каждой фазе за время , тогда время работы алгоритма Диница может быть улучшено до .
Пример
[править | править код]Ниже приведена симуляция алгоритма Диница. Во вспомогательной сети вершины с красными метками — значения . Блокирующий поток помечен синим.
История
[править | править код]Алгоритм Диница был опубликован в 1970 г. бывшим советским учёным Ефимом Диницем, который сейчас является членом факультета вычислительной техники университета Бен-Гурион (Израиль), ранее, чем алгоритм Эдмондса — Карпа, который был опубликован в 1972, но создан ранее. Они независимо показали, что в алгоритме Форда — Фалкерсона в случае, если дополняющий путь является кратчайшим, длина дополняющего пути не уменьшается.
Литература
[править | править код]- Yefim Dinitz. Dinitz' Algorithm: The Original Version and Even's Version // Theoretical Computer Science: Essays in Memory of Shimon Even[англ.] (англ.) / Oded Goldreich[англ.], Arnold L. Rosenberg, and Alan L. Selman. — Springer, 2006. — P. 218—240. — ISBN 978-3540328803.
- B. H. Korte, Jens Vygen. 8.4 Blocking Flows and Fujishige's Algorithm // Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms (Algorithms and Combinatorics, 21) (англ.). — Springer Berlin Heidelberg, 2008. — P. 174—176. — ISBN 978-3-540-71844-4.