Групповое кольцо

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо $K[G]$ — это свободный модуль над кольцом $K,$ базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы $G,$ умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.

Определение

Пусть $K$ — кольцо, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle G=\{g_1,...,g_n\}}  — конечная группа. Тогда групповым кольцом $K[G]$ называется множество выражений вида $\alpha =\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}g_{k}=a_{1}g_{1}+...+a_{n}g_{n}$, которые складываются и умножаются следующим образом:

Если $\alpha =\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}g_{k},\ \beta =\sum \limits _{k=1}^{n}b_{k}g_{k}$, то

$\alpha +\beta =\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})g_{k}$

$\alpha \cdot \beta =\sum \limits _{k=1}^{n}\left(\sum \limits _{g_{i}g_{j}=g_{k}}a_{i}b_{j}\right)g_{k}$

Свойства

• Если $K$ и $G$ коммутативны, то $K[G]$ коммутативно.
• Если $K$ — кольцо с единицей, то $K[G]$ — кольцо с единицей.
• Вложение $G$ в $K[G]$ образует базис группового кольца.
• Если $H$ — подгруппа $G$, то $K[H]$ — подкольцо кольца $K[G]$.
• Пусть $K$ является полем, тогда каждому элементу $G$ можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства $K[G]$ — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.

Литература

• Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Наймарк М. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.