Дифференцирование сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Если функция $f$ имеет производную в точке $x_{0}$ , а функция $g$ имеет производную в точке $y_{0}=f(x_{0})$ , то сложная функция $h(x)=g(f(x))$ также имеет производную в точке $x_{0}$ .

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ где $y_{0}=f(x_{0}),$ и $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$ и её производная имеет вид:

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции $y=y(x),$ где $x=x(t),$ принимает следующий вид:

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z=g(y)$ в точке $y_{0}$ имеет вид:

dz=g'(y_{0})\,dy,

где $dy$ — дифференциал тождественного отображения $y\to y_{0}$ :

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Пусть теперь $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).$ Тогда $dy=f'(x_{0})\,dx$ , и согласно цепному правилу:

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ Тогда функция $h\;$ может быть записана в виде композиции $h=g\circ f,$ где

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Дифференцируя эти функции отдельно:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

получаем

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ где $y_{0}=f(x_{0}),$ и $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ и $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

.

В частности, матрица Якоби функции $h$ является произведением матриц Якоби функций $g$ и $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.

Следствия

Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
$\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .$

Для частных производных сложной функции справедливо

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.$

Пример

Пусть дана функция трёх переменных $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;$ и требуется найти её частную производную по переменной $x$ . Функция $h\;$ может быть записана как $h(x,y,z)=f(u,v,w),$ где