Периодическая группа

Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.

Экспонента (или период) периодической группы $G$ — это наименьшее общее кратное порядков элементов $G$, если таковое существует. Любая конечная группа имеет экспоненту — это делитель числа $|G|$.

Одна из ключевых задач теории групп — проблема Бёрнсайда — посвящена вопросу о соотношении между периодическими группами и конечными группами в классе конечнопорождённых групп, основной вопрос — следует ли из существования экспоненты конечность группы (в общем случае, ответ отрицательный).

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$, как и группу Прюфера, являющуюся подгруппой $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$. Другой пример — объединение всех диэдральных групп. Ни одна из этих групп не имеет конечного числа образующих, и любая периодическая линейная группа с конечным числом образующих конечна. Примеры бесконечных периодических групп с конечным числом образующих были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем (теорема Голода — Шафаревича), а также Алёшиным и Григорчуком с использованием теории автоматов.

Математическая логика

Одно из примечательных свойств периодических групп состоит в том, что они не могут быть формализованы средствами логики первого порядка. В противном случае потребовалась бы аксиома вида:

$\forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )$,

содержащая бесконечную дизъюнкцию, а потому неприемлемая. Невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию с помощью бесконечного числа аксиом — из теоремы о компактности следует, что никакое множество формул первого порядка не может описать класс периодических групп.

Связанные понятия

Подгруппа кручения абелевой группы $A$ — подгруппа, состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Абелева группа кручения — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения — абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом, имеющим конечный порядок.

См. также

• Кручение (алгебра)
• Теорема Жордана — Шура

Литература

• Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых p-группах // Изв. АН СССР Сер. матем.. — 1964. — Т. 28, вып. 2. — С. 273-276.
• Алешин С. В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Матем. заметки. — 1972. — Т. 11, вып. 3. — С. 319–328.
• Григорчук Р. И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его прил.. — 1980. — Т. 14, вып. 1. — С. 53–54.

• Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних // Изв. АН СССР Сер. матем.. — 1984. — Т. 48, вып. 5. — С. 939–985.

• H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. Mathematical logic. — 2. ed., 4. pr.. — New York [u.a.]: Springer, 1994. — ISBN 978-0-387-94258-2.