Связность (дифференциальная геометрия)

Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.

Точнее: Пусть дано гладкое расслоение $\pi :E\to B$, связность есть подрасслоение $R$ касательного расслоения $TE$ над $E$, такое что для каждой точки $x\in E$ проекция

$d_{x}\pi (R_{x})=T_{\pi (x)}B$

здесь $d_{x}\pi$ обозначает дифференциал $\pi$ в точке $x$.

Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.

Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения. В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности. На физическом языке в терминах пространства-времени это говорит, что можно ввести локально лоренцеву систему отсчёта вдоль произвольной несамопересекающейся кривой, но невозможно в окрестности точки, если тензор кривизны этой окрестности отличен от нуля.

Название связность происходит от того, что посредством неё связываются касательные пространства в разных точках многообразия. Именно связность организовывает структуру касательного расслоения. Проще говоря, связность позволяет переносить геометрические объекты из одной точки многообразия в другую и необходима для сравнения объектов в разных точках многообразия.

Типы связностей

• Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.

• Связность Леви-Чивиты — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.