Форма Киллинга

Форма Киллинга — симметричная билинейная форма на алгебре Ли определённого типа.

История

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана».

Определение

Рассмотрим алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем $K$. Каждый элемент $x$ из ${\mathfrak {g}}$ определяет эндоморфизм $\mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

$\mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],$

где $[{*},{*}]$ — скобка Ли. Предположим, что ${\mathfrak {g}}$ имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

$B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})$

со значениями в $K$. Эта форма $B$ и называется формой Киллинга на ${\mathfrak {g}}$.

Свойства

• Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
• Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть

  $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

где $[{*},{*}]$ — скобка Ли.

• Если ${\mathfrak {g}}$ является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$ пропорциональна форме Киллинга.
• Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть

  $B(s(x),s(y))=B(x,y)$

где $s\in Aut({\mathfrak {g}})$.

• В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с $B$ в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.

• Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
• Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
• Если $I$ и $J$ — два идеала в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ с нулевым пересечением, тогда $I$ и $J$  образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
• Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
• Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.

См. также

• Инвариант Казимира