Журнал фильтра правок

'{{redirect|Деление|Деление (значения)|для просмотра других значений}} [[Файл:Divide20by4.svg|thumb|<math>20: 4=5</math>]] '''Деле́ние''' (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное [[умножение|умножению]]. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует [[Знак деления|несколько символов]], используемых для обозначения оператора деления. Подобно тому, как [[умножение]] заменяет неоднократно повторенное [[сложение]], деление заменяет неоднократно повторенное [[вычитание]]. Рассмотрим, например, такой вопрос: '''Сколько раз 3 содержится в 14?''' Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2. В этом случае число 14 называется '''[[Делимое|делимым]]''', число 3 — '''[[Делитель|делителем]]''', число 4 — '''[[Неполное частное|(неполным) частным]]''' и число 2 — '''[[Остаток от деления|остатком (от деления)]]'''. Результат деления также называют '''отношением'''. == Деление [[Натуральное число|натуральных чисел]] == [[Файл:LongDivisionAnimated.gif|thumb|[[Деление столбиком]]]] [[Кольцо (алгебра)|Кольцо]] целых чисел не [[Замкнутая операция|замкнуто]] относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о ''делении без остатка''. Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В [[Средние века]] «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, {{нп3|en:Short division|деление в виде корабля}}). Появление [[Деление столбиком|деления столбиком]] радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. [[быстрое умножение]]), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. [[:en:Division (digital)]], применяющиеся в вычислительной технике. Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка ([[признаки делимости]]). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа. Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их '''общим делителем'''. Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и [[простое число]]. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом. В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. Рассмотрение остатков, их [[Сравнение по модулю|сравнение]] и формализация в виде вычетов привели к целой науке — [[Теория чисел|теории чисел]]. Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): : <math>a = p\cdot q + r</math>. <math>0\leqslant r<|p|</math>. Где <math>a</math> — делимое, <math>p</math> — делитель, <math>q</math> — частное и <math>r</math> — остаток. == Деление [[Целое число|целых чисел]] == Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть [[правило знаков]]. Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, <math>-7 / (-3) = 2</math> с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел: : <math>-7 \equiv 2 \pmod 3</math>. == Деление рациональных чисел == [[Замыкание]] множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного [[целое число|целого числа]] на другое всегда является [[рациональное число]]. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё). Правило деления обыкновенных дробей: <math>\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} = \frac{ad}{bc}</math> == Деление вещественных чисел == Деление также замкнуто в [[Поле (алгебра)|поле]] ненулевых вещественных чисел. [[Дедекиндово сечение]] позволяет однозначно определить результат деления. == Деление комплексных чисел == Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления. * В алгебраической форме результат можно получить путём домножения на сопряжённое число: : <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>. Результат определён для всех <math>c+di\neq 0=0+0i</math> * В экспоненциальной форме легче всего получить результат: : <math>\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\varphi_1-\varphi_2)}</math>. Видно, что при этом '''модули делятся''', а '''аргументы вычитаются'''. * Аналогично в тригонометрической форме: : <math>\frac{r_1 (\cos\varphi_1 +i \sin\varphi_1)}{r_2 (\cos\varphi_2 +i \sin\varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i \sin(\varphi_1-\varphi_2))</math>. == Деление в алгебре == В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата. Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если [[единичный элемент]] вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то [[обратный элемент]] часто может быть как левым (<math>x^{-1}*x=e</math>), так и правым (<math>x*x^{-1}=e</math>). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу. К примеру, отношение [[Матрица (математика)|матриц]] определяется через обратную матрицу, при этом даже для [[Квадратная матрица|квадратных матриц]] может быть: : <math>B^{-1}\cdot A \neq A\cdot B^{-1}</math>. Отношение [[тензор]]ов в общем случае не определено. == Деление [[многочлен]]ов == В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления: : <math>5334_8 = 5\cdot 8^3 + 3\cdot 8^2 + 3\cdot 8^1 + 4\cdot 8^0 = \left.(5x^3+3x^2+3x+4)\right|_{x=8}</math>. Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо [[Деление многочленов столбиком|деление столбиком]]. Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя. == Деление на ноль == По правилам стандартной арифметики деление на [[0 (число)|число 0]] запрещено<!--, поскольку оно приводит к противоречию-?-->. Другое дело — деление на [[Бесконечно малая|бесконечно малую]] функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется ''неопределённостью'' 0/0, которую можно преобразовать (см. [[раскрытие неопределённостей]]) с тем, чтобы получить определённый результат. Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 <i>неопределенно</i><ref>М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике.</ref>. Это не соответствует стандартному определению [[Бинарная_операция|бинарной операции]], согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение. Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.<br> Результат этой операции считается бесконечно большим и равным [[Бесконечность|бесконечности]]:<br> <math>a:0=\infty</math>, где <math>a \neq 0</math><br> Смысл этого выражения состоит с том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным <i>a</i> или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).<br> Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как <math>R\times R\to R</math>. <!-- Деление на ноль породило [[интернет-мем]], в котором утверждается, что если поделить на ноль, то должно произойти что-то катастрофическое --дополнение очевидное, но значимость сомнительна -->. == См. также == {{wiktionary|деление}} * [[Признаки делимости]] * [[Наибольший общий делитель]] * [[Наименьшее общее кратное]] * [[Деление многочленов столбиком]] * [[Деление столбиком]] * [[Остаток от деления]] * [[Деление с остатком]] [[Категория:Деление| ]] [[als:Division (Mathematik)]] [[an:División]] [[ar:قسمة]] [[arz:قسمه]] [[ay:Jaljayaña]] [[az:Bölmə (riyaziyyat)]] [[be:Дзяленне]] [[be-x-old:Дзяленьне]] [[bg:Деление]] [[br:Rannadur]] [[bs:Dijeljenje (matematika)]] [[ca:Divisió]] [[cs:Dělení]] [[cy:Rhannu (mathemateg)]] [[da:Division (matematik)]] [[de:Division (Mathematik)]] [[el:Διαίρεση]] [[en:Division (mathematics)]] [[eo:Divido]] [[es:División (matemática)]] [[et:Jagamine]] [[eu:Zatiketa (matematika)]] [[fa:تقسیم]] [[fi:Jakolasku]] [[fr:Division]] [[gan:除法]] [[gd:Roinn (matamataig)]] [[gl:División (matemáticas)]] [[he:חילוק]] [[hr:Dijeljenje]] [[hu:Osztás]] [[ia:Division (mathematica)]] [[id:Perbagian]] [[io:Divido (matematiko)]] [[is:Deiling]] [[it:Divisione (matematica)]] [[ja:除法]] [[ko:나눗셈]] [[la:Divisio (mathematica)]] [[lt:Dalyba]] [[lv:Dalīšana]] [[ml:ഹരണം]] [[mwl:Debison (matemática)]] [[nah:Tlaxēxelōliztli (tlapōhualmatiliztli)]] [[nl:Delen]] [[nn:Divisjon]] [[no:Divisjon (matematikk)]] [[nov:Divisione]] [[pl:Dzielenie]] [[pt:Divisão]] [[qu:Rakiy]] [[ro:Împărțire (matematică)]] [[scn:Spartuta]] [[simple:Division (mathematics)]] [[sk:Delenec]] [[sl:Deljenje]] [[so:U qeybin]] [[sr:Дељење]] [[sv:Division (matematik)]] [[ta:வகுத்தல் (கணிதம்)]] [[te:భాగహారం]] [[th:การหาร]] [[tl:Paghahati]] [[uk:Ділення]] [[ur:تقسیم (ریاضی)]] [[vec:Divixion]] [[war:Pagtunga-tunga]] [[xal:Хувалһн]] [[zh:除法]]'