Pitagorina teorema

U matematici, Pitagorina teorema izražava vezu koja postoji između tri stranice pravouglog trougla u euklidskoj geometriji. Ako su a i b katete, a c hipotenuza pravouglog trougla, važi jednakost

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

odnosno, iskazano rečima:

Površina kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom pravouglog trougla jednak je zbiru površina kvadrata konstruisanih nad katetama tog trougla.

Teorema je dobila ime prema starogrčkom matematičaru Pitagori, za koga se, tradicionalno, smatra da ju je otkrio i dokazao, iako je danas izvesno da je bila poznata mnogo pre Pitagore.

Pitagorina teorema je jedna od osnovnih i najznačajnijih matematičkih teorema. Prepoznatljiva slika pravouglog trougla sa konstruisanim kvadratima nad sve tri stranice, korišćena za vizuelni prikaz samog tvrđenja, poslužila je kao osnova za generisanje fraktala koji se naziva Pitagorino drvo.

Istorija

Vizuelni dokaz Pitagorine teoreme za trougao čije su stranice Pitagorina trojka (3, 4, 5) iz jednog od najstarijih kineskih matematičkih tekstova, 500–200 pne.

Istorijski posmatrano, otkriće i razumevanje Pitagorine teoreme je prošlo kroz nekoliko etapa:

• algebarsko istraživanje postojanja Pitagorinih trojki,
• bolje upoznavanje odnosa između stranica pravouglog trougla, odnosno odnosa između susednih uglova trougla, koje je posledica sticanja sve većih znanja o ravnima i površima i
• nalaženje velikog broja različitih dokaza teoreme.

Drevne civilizacije

Veza koja postoji između stranica trougla čije su dužine 3, 4 i 5 bila je poznata još Vaviloncima, 2000 godina pre Hrista, a može se naći i u čuvenoj kineskoj knjizi Devet knjiga o matematičkoj veštini za koju se pretpostavlja da je napisana oko 1100. godine p. n. e. Stari Egipćani su znali za četiri Pitagorine trojke, o čemu svedoči papirus datiran u vreme vladavine XII dinastije, oko 2000. godine p. n. e, u kome je, između ostalog, moguće naći i relaciju

$1^{2}+\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}=\left(1{\frac {1}{4}}\right)^{2}\,$.

Ona je ekvivalentna Pitagorinoj trojki (3, 4, 5) ako se izraz proširi da bi se oslobodio od razlomaka.

Pitagorine trojke mogu se naći i u Sulvasutrama, svetim pesmama Hindusa, iz perioda 5 — 4. vek p. n. e, koje govore o načinu dobijanja pravih uglova pomoću užeta sa 3-4-5, odnosno 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 i 12-35-37 čvorova vezanih na jednakim rastojanjima. Korišćenje konopca za određivanje pravog ugla imalo je u davna vremena svoju praktičnu primenu u npr. parcelisanju zemljišta, a ljudi koji su se time bavili nazivani su zatezačima konopca (grč. Λρπεδονάπται, harpedonaptai). Međutim, prema nekim autorima, malo je verovatno da su Egipćani zaista koristili uže sa 12 čvorova za određivanje pravog ugla, i nema očiglednih dokaza da su znali da je trougao sa stranicama (3, 4, 5) pravougli.

Pitagora

Tradicionalno, otkriće teoreme se pripisuje Pitagori, starogrčkom filozofu i naučniku, o kome se danas zna posredno, preko kasnijih izvora. Prema njima, Pitagora je rođen oko 570. godine p. n. e. na ostrvu Samos, verovatno je bio Talesov učenik, a jedan deo svog života proveo je putujući Egiptom i Persijom, da bi se, po povratku na rodni Samos, susreo sa tiranskom vladavinom Polikrata, što je, smatra se, bio razlog da se preseli u Kroton gde je osnovao čuvenu Pitagorejsku školu. Pitagorejci su tvrdili da je teoremu otkrio upravo Pitagora, i da je, u znak zahvalnosti, žrtvovao bogovima stotinu bikova. Problem sa preciznim utvrđivanjem prave istine je posledica činjenice da su Pitagorejci prenosili usmenim putem stečena znanja koja su smatrana svetim i strogo su čuvana. Pored toga, često su se nova otkrića pripisivala velikom učitelju, dok je pravi pronalazač ostajao nepoznat. U prilog tome stoji činjenica da se u iskazu teoreme koji se pojavljuje u Euklidovim Elementima nigde ne spominje Pitagorino ime. Danas postoji nekoliko hipoteza:

• Pitagora je preuzeo teoremu od Vavilonaca, odnosno samo je bio posrednik između znanja koja su dolazila sa Istoka i Grka. Iako je, prema antičkim izvorima, Pitagora posetio Egipat i Vavilon, te informacije nisu pouzdane.
• Pitagora je formulisao i po prvi put dokazao teoremu nezavisno od vavilonskih izvora. Ovaj pristup je bio široko prihvaćen u drevna vremena.
• Pitagora je za teoremu čuo na svojim putovanjima, ali je bio prvi čovek koji je i dokazao. Sasvim je jasno da ni Egipćani ni Vavilonci nisu išli dalje od svakodnevne primene teoreme u praktične svrhe. Na primer, u Kairskom papirusu, otkrivenom 1938. godine, i dešifrovanom 1962. godine, nalazi se 40 matematičkih zadataka od kojih je devet rešeno upotrebom Pitagorine teoreme. Jedan od tih zadataka glasi:

„Merdevine dugačke 10 lakata naslonjene su na zid tako da je njihovo podnožje udaljeno 6 lakata od ivice zida. Do koje visine se pružaju te merdevine?“

Međutim, iako se pri rešavanju problema koristi teorema, nema pokušaja da se ona uopšti, niti da se dokaže.

• Pitagora nije učestvovao u otkriću teoreme, već su prvi dokaz našli njegovi učenici.

Prvo sačuvano delo u kome se Pitagora povezuje sa iskazom teoreme je Plutarhov Etički zbornik - Moralija, napisan krajem prvog ili početkom drugog veka n. e. U njemu se citiraju stihovi iz jednog nesačuvanog Apolodorovog dela iz drugog veka p. n. e. Prema Plutarhu,

kada je Pitagora otkrio taj čuveni stav,
zbog toga je ponudio sjajnu žrtvu volova.

Iste stihove navodi i Atenaj iz Neukratisa, u svom delu Gozba učenih, početkom trećeg veka n. e.

Sledbenici

Prvi pisani dokaz Pitagorine teoreme pojavljuje se tek 150 godina kasnije, u prvoj i šestoj knjizi Euklidovih Elemenata, pri čemu je, prema Proklu, dokaz iz šeste knjige jedini originalni Euklidov dokaz u Elementima, dok je dokaz iz prve knjige pripisan Eudoksu.

Oko 250. godine p. n. e. Arhimed aproksimira vrednost broja pi koristeći Pitagorinu teoremu i upisane i opisane poligone u krug. U 2. veku p. n. e, Klaudije Ptolemej u svom Almagestu dokazuje teoremu:

„Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla jednak je zbiru proizvoda njegovih naspramnih ivica.“

Odavde se, u specijalnom slučaju kada je tetivni četvorougao u stvari pravougaonik, dobija Pitagorina teorema.

Heron iz Aleksandrije je kasnije dokazao formulu kojom se može izračunati površina proizvoljnog trougla preko njegovih stranica korišćenjem proporcija. Danas se ta formula dokazuje korišćenjem Pitagorine teoreme.

U 3. veku n. e. Papos dokazuje proširenu verziju Pitagorine teoreme koja važi za proizvoljan trougao, a šest vekova kasnije, Al Harani daje dokaz još jedne generalizacije koja je primenjiva na proizvoljan trougao.

Formulacija teoreme

Vizuelni dokaz Pitagorine teoreme

Prema teoremi:

U bilo kom pravouglom trouglu, površina kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom (stranicom koja se nalazi nasuprot pravog ugla) je jednaka zbiru površina kvadrata konstruisanih nad katetama (stranicama koje se sustiču u pravom uglu trougla).

Ovaj iskaz se obično navodi u sledećem obliku:

Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.

Ukoliko je sa c označena dužina hipotenuze, a sa a i b dužine preostale dve stranice, teorema se može zapisati pomoću sledeće jednakosti:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

ili, ako se odatle izrazi c:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,$

Ako je hipotenuza c poznata, a treba odrediti jednu od kateta, moguće je koristiti neku od sledeće dve jednakosti (koje se dobijaju iz polazne jednakosti, rešavanjem po odgovarajućoj nepoznatoj):

$c^{2}-a^{2}=b^{2}\,$

ili

$c^{2}-b^{2}=a^{2}\,$

Iz navedenih jednakosti može se primetiti da je veza između stranica pravouglog trougla takva da, u slučaju da je jedna od njih nepoznate dužine, može se odrediti pomoću preostale dve poznate stranice. Generalizacija ove teoreme, poznata kao kosinusna teorema, omogućava izračunavanje dužine treće stranice proizvoljnog trougla, ukoliko su poznate dužine preostale dve stranice i veličina ugla koje one zahvataju, što je jedna od postavki zadatka koji se naziva rešavanje trougla. Ukoliko poznate stranice određuju prav ugao, kosinusna teorema se svodi na Pitagorinu teoremu.

Neeuklidske geometrije

Sferni trougao

Za više informacija pogledajte članak Neeuklidske geometrije

U sfernoj geometriji, na jediničnoj sferi, za pravougli sferni trougao ABC kome su dužine stranica redom a, b i c, Pitagorina teorema ima oblik

$\cos a=\cos b\cdot \cos c.$

Ukoliko je poluprečnik sfere dužine $\scriptstyle R$, jednakost postaje

$\cos {\frac {a}{R}}=\cos {\frac {b}{R}}\cdot \cos {\frac {c}{R}}.$

U hiperboličkoj ravni predstavljenoj Poenkareovim modelom diska, ukoliko je trougao ABC pravougli sa katetama a, b i hipotenuzom c, Pitagorina teorema ima oblik

$\cosh c=\cosh a\cdot \cosh b,$

pri čemu je hiperbolički kosinus definisan sa

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}.$

Hilbertovi prostori

Za više informacija pogledajte članak Hilbertov prostor

Uobičajena norma na realnom euklidskom prostoru $\scriptstyle R^{k}$ se uvodi pomoću skalarnog proizvoda. Vektorski prostor sa normom uvedenom pomoću skalarnog proizvoda se naziva pred-Hilbertovim prostorom. Ako je pred-Hilbertov prostor kompletan u odnosu na svoju metriku, naziva se Hilbertovim prostorom. Ovo je uvek slučaj u konačnodimenzionim prostorima kakav je $\scriptstyle R^{k}$, ali beskonačnodimenzioni pred-Hilbertovi prostori ne moraju biti Hilbertovi.

Ukoliko je u realnom prostoru $\scriptstyle X$ sa skalarnim proizvodom (pred-Hilbertovom prostoru) uvedena norma vektora sa

$\left\|x\right\|={\sqrt {x\cdot x}}$,

uz odgovarajuće osobine, onda za ortogonalne vektore $\scriptstyle x$ i $\scriptstyle y$ Pitagorina teorema dobija oblik

$\left\|x+y\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}+\left\|y\right\|^{2}$.

Dokazi

Pitagorina teorema je vekovima služila kao inspiracija za nove matematičke dokaze, koje su pronalazili i ljudi koji nisu bili profesionalni matematičari. U knjizi Pitagorino tvrđenje (engl. The Pythagorean Proposition) Iliše Skota Lumisa (engl. Elisha Scott Loomis), izvorno objavljenoj 1927. godine, koja je dopunjena novim dokazima 1940. godine, moguće je naći sve poznate dokaze do njenog objavljivanja, ukupno njih 371. Između ostalih tu su navedeni Pitagorin i Euklidov dokaz, zatim najkraći i najduži dokaz koji se pripisuju Ležandru, Ptolemejev, Leonardov, Hajgensov i Lajbnicov dokaz kao i dokaz Džejmsa Garfilda, iz vremena pre nego što je postao predsednik SAD.

Pitagorin dokaz

Iako postoje materijalni dokazi da je veza između kateta i hipotenuze pravouglog trougla bila poznata još drevnim civilizacijama, ono što je odlučilo da teorema ponese Pitagorino ime je činjenica da ju je on prvi dokazao. Međutim, kako u njegovo vreme nije bilo adekvatnog materijala za zapisivanje, stečena znanja su se kod pitagorejaca prenosila usmenim putem, te ne postoji pouzdan izvor na osnovu koga bi sa sigurnošću moglo da se tvrdi kako je izgledao originalni Pitagorin dokaz. Euklid je u svojim Elementima dao dva dokaza teoreme, najpre u prvoj knjizi, dokaz koji se u potpunosti zasniva na odnosima površina, a zatim i u šestoj knjizi, dokaz koji koristi sličnost i znatno je jednostavniji. S obzirom da geometrija u vreme Pitagore nije bila dovoljno razvijena, malo je verovatno da je on koristio prvi dokaz, a ako je koristio drugi, onda on nije bio kompletan, pošto je potpunu teoriju srazmernosti dao tek Eudoks, koji je živeo dva veka posle Pitagore. Sa druge strane, vrlo je verovatno da je Pitagora najpre dokazao teoremu u slučaju jednakokrakog pravouglog trougla, pošto je taj dokaz bio poznat još Hindusima, te ga je mogao čuti na svojim putovanjima po Mediteranu. Da li je dokazao i opšti slučaj nije poznato, ali se pretpostavlja da ga je razmatrao. Tradicionalno mu se pripisuje dokaz opšteg slučaja koji je bio poznat još u drevnoj Kini.

Euklidovi dokazi

U svojim Elementima Euklid dokazuje Pitagorinu teoremu na dva mesta, najpre u prvoj, a zatim i u šestoj knjizi. Prvi dokaz je prilično zahtevan za praćenje, i prema Proklu, pripada Euklidovom prethodniku Eudoksu, kao i teorija proporcionalnosti izložena u petoj knjizi Elemenata. Postoje različita tumačenja zašto je Euklid izabrao da u prvoj knjizi teoremu dokaže na teži način, iako su u njegovo vreme bili poznati jednostavniji dokazi. Sa jedne strane, većina tih dokaza je podrazumevala podelu pravouglog trougla na manje, slične trouglove i korišćenje osobina proporcionalnosti za izvođenje odgovarajuće jednakosti, ali one su izložene tek u petoj knjizi, dok je sličnost obuhvaćena šestom knjigom. Sa druge strane, kako su stari Grci sve aritmetičke operacije interpretirali kroz geometriju, vrlo je verovatno da se Euklidu prvi dokaz prirodno nametnuo – jer je posmatrao Pitagorinu teoremu kao odnos između površina. Prema Proklu, drugi dokaz je u potpunosti Euklidov, štaviše, to je jedini originalni Euklidov dokaz u Elementima.

Dokaz iz prve knjige Euklidovih Elemenata

Suština prvog dokaza je da, ako su sa A, B i C označena temena pravouglog trougla sa pravim uglom kod temena A, i ako se iz tog temena spusti visina na hipotenuzu koja se produži do naspramne stranice kvadrata nad hipotenuzom, ona će podeliti taj kvadrat na dva pravougaonika, čije će površine biti jednake površinama kvadrata nad bližom katetom.

Za formalan dokaz, najpre je potrebno pokazati da važe sledeće elementarne leme:

1. (SUS stav prema podudarnosti trouglova) Ako su dve stranice jednog trougla jednake sa dve stranice drugog trougla, i ako su uglovi koje zahvataju ti parovi jednakih stranica takođe jednaki, onda su trouglovi podudarni.
2. Površina trougla je jednaka polovini površine bilo kog paralelograma konstruisanog nad dvema stranicama tog trougla.
3. Površina bilo kog pravougaonika jednaka je proizvodu dve susedne stranice.
4. Površina bilo kog kvadrata jednaka je proizvodu dve njegove stranice (sledi iz prethodne leme).

Intuitivna ideja dokaza je da se kvadrati nad katetama transformišu u paralelograme iste površine, koji se zatim novom transformacijom uklapaju u pravougaonike na koje je podeljen kvadrat nad hipotenuzom.

Slika sa ucrtanim novim dužima

1. Neka je ACB pravougli trougao sa pravim uglom kod temena A.
2. Na svakoj od stranica BC, AB i CA nacrtani su kvadrati CBDE, BAGF i ACIH respektivno.
3. Iz tačke A spuštena je normala na stranicu BC koja je produžena do preseka sa stranicom DE i ujedno je paralelna sa BD i CE. Njeni preseci sa stranicama BC i DE su redom označeni sa K i L.
4. Spajanjem tačaka C i F, odnosno A i D, dobijaju se trouglovi BCF i BDA.
5. Uglovi CAB i BAG su pravi, pa su tačke C, A, i G kolinearne. Slično se zaključuje za tačke B, A i H.
6. Uglovi CBD i FBA su pravi, što znači da je ugao ABD jednak uglu FBC, pošto su oba jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC.
7. Kako je stranica AB jednaka stranici FB, a BD jednaka BC, trougao ABD je podudaran sa trouglom FBC.
8. Kako su tačke A, K i L kolinearne, pravougaonik BDLK ima dvostruko veću površinu od trougla ABD.
9. Kako su tačke C, A i G kolinearne, kvadrat BAGF ima dvostruko veću površinu od trougla FBC.
10. Iz prethodnog sledi da pravougaonik BDLK ima istu površinu kao kvadrat BAGF, koja je jednaka AB².
11. Slično, moguće je pokazati da pravougaonik CKLE mora da ima istu površinu kao kvadrat ACIH koja iznosi AC².
12. Sabiranjem dobijenih jednakosti biće AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
13. Kako je BD = KL, važi BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. Odatle je AB² + AC² = BC², pošto je CBDE kvadrat.

Primer generalizacije Pitagorine teoreme

Dokaz iz šeste knjige Euklidovih Elemenata

Moguće je da je Euklid bio svestan težine ovog dokaza, i da je zbog toga u šestoj knjizi dokazao malo opštiji slučaj Pitagorine teoreme koristeći sličnost. Prema tom tvrđenju, kod pravouglog trougla, geometrijski lik (bez ograničenja da to mora biti kvadrat) konstruisan nad hipotenuzom jednak je po površini zbiru površina sličnih i slično konstruisanih geometrijskih likova nad katetama.

1. Neka je ACB pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C.
2. Analogno prethodnom dokazu, potrebno je spustiti normalu iz temena pravog ugla na hipotenuzu. Podnožje normale označeno je sa H.
3. Kako je AB normalno na CD i AC normalno na CB, uglovi HAC i HCB su jednaki kao uglovi sa normalnim kracima.
4. Posledica je da su trouglovi AHC i CHB međusobno slični, i slični polaznom trouglu ACB, pa su njihove odgovarajuće stranice proporcionalne.
5. Iz jednakosti AB/AC=AC/AD i AB/BC=BC/BD, unakrsnim množenjem dobija se da važi AC²=ABxAD i BC²=ABxBD.
6. Sabiranjem dobijenih jednakosti biće AC²+BC²=ABxAD+ABxBD=ABx(AD+BD)
7. Kako je AD+BD=AB, važi AC²+BC²=ABxAB=AB².

Pored navedenih tvrđenja, Euklid je u prvoj knjizi Elemenata dokazao i tvrđenje u suprotnom smeru od Pitagorine teoreme, prema kome je pravougli trougao jedini trougao kod koga važi jednakost a²+b²=c².

Garfildov dokaz

Slika uz Garfildov dokaz Pitagorine teoreme

Još jedan posebno značajan geometrijski dokaz, u kome se ne koriste kvadrati nad stranicama, otkrio je negde oko 1876. godine Džejms Garfild, koji je kasnije postao dvadeseti predsednik SAD. Prema Iliši Lumisu, dokaz je bio posledica jedne Garfildove matematičke rasprave sa ostalim članovima Kongresa.

Ideja dokaza je da se na polazni trougao nadoveže još jedan njemu podudaran, tako da se kraća kateta prvog i duža kateta drugog nalaze na jednoj pravoj i da polaze iz istog temena. Zatim se spajanjem preostala dva temena trouglova koja pripadaju hipotenuzama dobija pravougli trapez čije su osnovice dužine a i b, a visina dužine a+b. Sa jedne strane, njegova površina se može dobiti kao proizvod poluzbira osnovica i visine, a sa druge kao zbir površina tri trougla na koje je podeljen, pa važi:

${\frac {(a+b)^{2}}{2}}={\frac {ab}{2}}+{\frac {ab}{2}}+{\frac {c^{2}}{2}}\,\,\Rightarrow \,\,a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Leonardov dokaz

Leonardov dokaz Pitagorine teoreme

Ideja Leonardovog dokaza Pitagorine teoreme

Sledeći dokaz se pripisuje čuvenom italijanskom umetniku i naučniku Leonardu da Vinčiju, a oslanja se na simetriju i rotaciju.

1. Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C.
2. Nad svakom od stranica CA, BC i AB konstruisani su kvadrati ACED, BCFG i ABHJ respektivno.
3. Nad stranicom HJ konstruisan je trougao HJI koji je podudaran trouglu ABC, ali je u odnosu na njega zarotiran za 180° (stepeni).
4. Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dijagonalom CI.
5. Spajanjem tačaka E i F dobija se šestougao ABGFED, koji je prepolovljen svojom dijagonalom DG. Trouglovi ABC i ECF su simetrični u odnosu na dijagonalu DG, što za posledicu ima da su tačke D, C i G kolinearne.
6. Ako se četvorougao DABG zarotira oko tačke A za 90° (u smeru kretanja kazaljke na satu na priloženoj slici), poklopiće se sa četvorouglom CAJI, što znači da oni imaju jednake površine. To je posledica činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi, što znači da je ugao DAB jednak uglu CAJ, pošto su oba jednaka zbiru pravog ugla i ugla CAB. Slično, ugao AJI je jednak uglu ABG, jer su oba jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC. To znači da duž AD prelazi u AC, duž AB prelazi u AI, a duž BG u JI.
7. Kako četvorouglovi DABG i CAJI imaju jednake površine (recimo, S), i šestouglovi ABGFED i AJIHBC imaju međusobno jednake površine (2S). Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF, njegova površina se smanjuje na zbir površina kvadrata ACED i BCFG. Sa druge strane, ako se iz površine šestougla AJIHBC izuzmu površine podudarnih trouglova ABC i HJI, dobijena površina je jednaka površini kvadrata ABHJ, a odatle neposredno sledi jednakost AC²+BC²=AB².

Dokaz Džordža Ejrija

Engleski matematičar i astronom, Džordž Bidel Ejri, svoj dokaz je formulisao u stihu koji je bio ispisan na pratećoj slici, i u originalu glasi:

I am, as you can see,
a² + b² - ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'd
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read.

što bi se moglo prevesti na srpski jezik sa:

„Ja sam, kao što se vidi, a² + b² - ab. Kada na meni stoje dva trougla, dobija se kvadrat nad hipotenuzom. Ali, ako ja stojim na njima dobijaju se kvadrati nad katetama.“

Ideja dokaza je da se uoči beli petougao koji je zajednički element za obe strane jednakosti. Na priloženoj slici on je dobijen tako što su kvadrat stranice a i kvadrat stranice b postavljeni na istu pravu i naslonjeni jedan na drugi, a zatim su im oduzeta dva plava pravougla trougla čije su katete dužina a i b. Površina tog petougla je upravo a² + b² - ab. Ukoliko se na njega nadovežu dva crvena trougla podudarna sa plavim trouglovima, površina tog drugog lika će biti c² čime je teorema dokazana.

Uopštenja teoreme

Kosinusna teorema

Nejednakostraničan oštrougli trougao

Za više informacija pogledajte članak Kosinusna teorema

Jedna od značajnih generalizacija Pitagorine teoreme je kosinusna teorema, koja, pored pravouglih, važi i za oštrougle i tupougle trouglove, odnosno, može se primeniti na proizvoljan trougao. Ako su temena, stranice i uglovi trougla označeni kao na slici, važe jednakosti:

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$

$\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,$

$\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .$

Sabirak viška se može interpretirati kao dvostruki skalarni proizvod vektora određenih odgovarajućim stranicama. Kada je $\gamma$ prav ugao, biće $\cos \gamma =0$, pa se tada poslednja jednakost svodi na Pitagorinu teoremu.

Prostorna Pitagorina teorema

Tetraedar ABCO.

Jedan prostorni analogon Pitagorine teoreme je specijalan slučaj kosinusne teoreme za tetraedar, prema kojoj, za površine strana tetraedra ABCO označene sa $\scriptstyle S_{O}$, $\scriptstyle S_{A}$, $\scriptstyle S_{B}$ i $\scriptstyle S_{C}$, koje su naspramne odgovarajućim temenima u svom indeksu, i za diedarske uglove pri ivicama OA (diedarski ugao α), OB (β) i OC (γ), važi jednakost:

$S_{O}^{2}=S_{A}^{2}+S_{B}^{2}+S_{C}^{2}-2S_{B}S_{C}\cos \alpha -2S_{C}S_{A}\cos \beta -2S_{A}S_{B}\cos \gamma .$

Ako su uglovi $\scriptstyle \alpha$, $\scriptstyle \beta$ i $\scriptstyle \gamma$ pravi, tako da je triedar pri temenu O pravougli, prethodna jednakost se svodi na:

$S_{O}^{2}=S_{A}^{2}+S_{B}^{2}+S_{C}^{2},$

što se može smatrati jednim uopštenjem Pitagorine teoreme u prostoru $\scriptstyle R^{3}$. Ovu teoremu je francuski matematičar Žan-Pol de Gija de Malves prezentovao pariskoj Akademiji nauka 1783. godine, zbog čega nosi njegovo ime, iako je bila poznata još Dekartu.

Parsevalova jednakost

Za više informacija pogledajte članak Parsevalova jednakost

Uopštenje Pitagorine teoreme na beskonačnodimenzionim separabilnim pred-Hilbertovim prostorima je poznato kao Parsevalova jednakost. Ako je $\scriptstyle X$ jedan takav prostor prostor, a $\scriptstyle \left\{e_{1},e_{2},\cdots \right\}$ jedna njegova ortonormalna baza, tada za svaki vektor $\scriptstyle x\in X$ važi:

$\sum _{n=1}^{+\infty }\left(x\cdot e_{n}\right)^{2}=\left\|x\right\|^{2}$.

Posledice i upotreba teoreme

Pitagorine trojke

Za više informacija pogledajte članak Pitagorina trojka

Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva x, y i z za koje važi jednakost x²+y²=z², odnosno, Pitagorinu trojku čine celobrojne dužine stranica pravouglog trougla. Vavilonske glinene tablice (engl. YBC 7289, Plimpton 322) koje su datirane u period 1800-1600. godine p. n. e. pokazuju da su takve trojke bile poznate mnogo pre Pitagore. Danas nije najjasnije kakvu su upotrebnu vrednost imala ta znanja. Prema nekim izvorima, čini se da je u pitanju spisak gotovih rešenja jednog problema koji je omogućavao drevnom predavaču matematike da bez dodatnih izračunavanja odmah proveri tačnost učeničkih radova.

Svaka Pitagorina trojka je oblika (ka, kb, kc), gde je k prirodan broj i (a, b, c) primitivna Pitagorina trojka (odnosno čine je uzajamno prosti brojevi). Različitih primitivnih Pitagorinih trojki ima beskonačno mnogo i poznata je njihova eksplicitna parametrizacija.

Geometrijska konstrukcija iracionalnih brojeva

Koren iz 2 je konstruktibilan broj - pravougli trougao sa katetama jedinične dužine ima dijagonalu dužine  √2

Otkriće iracionalnih brojeva se pripisuje Pitagorejcima, ali nije precizno poznato da li su do njih došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dužine dijagonale kvadrata. Pored toga što su ustanovili da postoje nesamerljivi brojevi, pokazali su da se oni mogu konstruisati što je ozbiljno ugrozilo njihovo verovanje da je u osnovi svega ono što se danas naziva racionalnim brojem, pa je otkriće strogo čuvano. Postoji legenda da je jedan od članova bratstva, koji se drznuo da javno govori o tome, za kaznu utopljen u moru.

Iako se ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja, neki iracionalni brojevi se mogu konstruisati pomoću lenjira i šestara. Tako se √2, koji se ponekad naziva i Pitagorinom konstantom, može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla kome su obe katete jedinične dužine. Ukoliko su katete dužina 1 i √2, hipotenuza će biti dužine √3 i slično za kvadratni koren proizvoljnog prirodnog broja.

Ne mogu se svi pozitivni iracionalni brojevi konstruisati pomoću lenjira i šestara: takvi, konstruktibilni brojevi čine poseban podskup skupa algebarskih brojeva i stoga ih ima prebrojivo mnogo, dok je ostalih, nekonstruktibilnih realnih brojeva neprebrojivo mnogo; nekonsktruktibilni su, na primer, brojevi ${\sqrt[{3}]{2}}$, cos 20°, e (Ermit 1871), π (Lindeman 1882), i mnogi drugi.

Bazelski problem

Za više informacija pogledajte članak Bazelski problem

Italijanski matematičar Pjetro Mengoli je 1644. godine postavio pitanje određivanja zbira recipročnih vrednosti kvadrata svih prirodnih brojeva. Iako je postavka problema relativno jednostavna, na rešenje se čekalo skoro čitav vek, jer je tek Ojler 1735. godine objavio rezultat, za koji je 1741. godine i dokazao da je zaista traženi zbir. Korišćenjem matematičke notacije, Bazelski problem se može zapisati na sledeći način:

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}},$

a zbir datog reda se može geometrijski aproksimirati korišćenjem Pitagorine teoreme. Konstrukcijom pravouglog trougla sa katetama dužine 1 i 1/2 dobija se hipotenuza čija je dužina kvadratni koren zbira prva dva člana datog reda. Ukoliko se zatim nad tom hipotenuzom kao katetom konstruiše novi pravougli trougao kome je druga kateta dužine 1/3, njegova hipotenuza će imati dužinu jednaku kvadratnom korenu iz zbira prva tri člana istog reda. Produžavanjem postupka u beskonačnost dužina hipotenuze svakog sledećeg trougla je sve bliža vrednosti ${\frac {\pi }{\sqrt {6}}}$.

Rastojanje između dve tačke u analitičkoj geometriji

Za više informacija pogledajte članak Analitička geometrija

Formula za rastojanje između dve tačke u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu je izvedena pomoću Pitagorine teoreme. Ako su $\scriptstyle A\,=\,(x_{a},y_{a})$ i $\scriptstyle B\,=\,(x_{b},y_{b})$ dve tačke u ravni, onda je njihovo euklidsko rastojanje:

$\left|AB\right|={\sqrt {(x_{a}-x_{b})^{2}+(y_{a}-y_{b})^{2}}}.$

U opštem slučaju, u višedimenzionom euklidskom prostoru, rastojanje između tačaka $\scriptstyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ i $\scriptstyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ se određuje formulom:

${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Fermaova poslednja teorema

Za više informacija pogledajte članak Poslednja Fermaova teorema

Poslednja Fermaova teorema je tvrđenje koje je Pjer Ferma zapisao bez dokaza na margini Diofantove druge knjige Aritmetike, a tiče se pitanja da li postoje prirodni brojevi koji bi zadovoljavali uopštenje jednačine kojom se definišu Pitagorine trojke. Tvrđenje do koga je došao otprilike 1637. godine, da ne postoje prirodni brojevi a, b i c za koje važi jednakost

$a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$

kad god je n prirodan broj veći od 2, bilo je vekovima pretpostavka, a dokazao ga je tek Endru Vajls 1995. godine.

Obrnuta Pitagorina teorema

Takozvana Obrnuta Pitagorina teorema glasi: Ako za dužine stranica trougla a ≤ b < c važi da je a² + b² = c², tada je dati trougao pravougli.

Pominjanje Pitagorine teoreme u opštoj kulturi

U knjizi Autobiografija Branislav Nušić navodi formulaciju teoreme u stihu:

Kvadrat od hipotenuze,
To zna svako dete,
Ravan je kvadratima
Od obe katete.

Nemački pesnik i botaničar, Adelbert fon Šamiso, posvetio je jednu svoju pesmu otkriću Pitagorine teoreme.

Na jednoj od sedam slika francuskog slikara Lorana de la Era (fr. Laurent de La Hyre) koje predstavljaju sedam slobodnih veština, drevni trivijum i kvadrivijum, pod nazivom Alegorija Geometrije prikazana je žena koja u desnoj ruci drži pergament sa nekoliko geometrijskih slika. Prva u nizu je upravo slika koju je Euklid dao u svom dokazu Pitagorine teoreme u prvoj knjizi Elemenata.

U filmu Viktora Fleminga „Čarobnjak iz Oza“, snimljenom prema istoimenoj knjizi L. Frenka Bauma, postoji scena u kojoj jedan od glavnih junaka, Strašilo, u trenutku kada dobija na poklon od Čarobnjaka diplomu, demonstrira svoje znanje eksplicitno navodeći netačan iskaz teoreme u sledećem obliku:

Zbir kvadratnih korena bilo koje dve stranice jednakokrakog trougla je jednak kvadratnom korenu treće stranice.

Strašilovu formulaciju citira Homer Simpson u desetoj epizodi petog serijala serije „Simpsonovi“, nakon što upotrebi naočari Henrija Kisindžera nađene u toaletu springfildske nuklearke. Za razliku od Strašilovog iskaza koji ostaje netačan, u crtanoj seriji se iz pozadine čuje glas koji delimično ispravlja Homera („U pitanju je pravougli trougao, idiote.“).

U Grčkoj, Japanu, San Marinu, Makedoniji i Surinamu su izdate poštanske marke sa karakterističnim vizuelnim prikazom Pitagorine teoreme.

U Ugandi je 2000. godine pušten u opticaj novčić u obliku pravouglog trougla, na čijoj je zadnjoj strani lik Pitagore i algebarski zapis teoreme, uz tekst „Pitagorin milenijum“.

Karakteristična slika koja simboliše Pitagorinu teoremu se može videti i na grbu švedskog inženjera Kristofera Polhema (švedski: Christopher Polhem).

U sedamnaestoj i trideset četvrtoj knjizi engleskog izdanja stripa Asteriks pojavljuje se lik mladog rimskog arhitekte Kvadratnadhioptenuzisa (engl. Squareonthehypothenus), čije je ime inspirisano teoremom.

Vanjske veze

• Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme Arhivirano 2008-07-20 na Wayback Machine-u
• Dijkstra's generalization
• Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme

Pitagorina teorema na Wikimedijinoj ostavi