Moment zotrvačnosti

Moment zotrvačnosti alebo moment inercie telesa je fyzikálna veličina, ktorá vystupuje pri skúmaní jeho otáčavého pohybu. Je mierou náročnosti uvedenia telesa do otáčavého pohybu vzhľadom na os rotácie. Označujeme ju väčšinou $I$ (v staršej literatúre to je väčšinou $J$), jednotkou v SI je $\mathrm {kg\,m} ^{2}$. Moment zotrvačnosti závisí od tvaru a hmotnosti telesa, ale aj od osi otáčania, ktorú si zvolíme.

Súvis medzi posuvným a otáčavým pohybom

Zjednodušene sa dá povedať, že moment zotrvačnosti vystupuje vo vzťahoch pre otáčavý pohyb tam, kde vo vzťahoch pre posuvný pohyb vystupuje hmotnosť. Takže popri kinetickej energii posuvného pohybu $1/2\,mv^{2}$ je kinetická energia rotačného pohybu $1/2I\omega ^{2}$ ($\omega$ je uhlová rýchlosť otáčavého pohybu, ktorá nahradila rýchlosť posuvného pohybu $v$). Podobne popri hybnosti posuvného pohybu $mv$ sa stretávame s momentom hybnosti telesa konajúceho otáčavý pohyb, ktorý sa vypočíta vzťahom $I\omega$. V neposlednom rade namiesto Newtonovho zákona pre posuvný pohyb $F=ma$ máme pre otáčavý pohyb tzv. druhú vetu impulzovú, podľa ktorej $M=I\varepsilon$ ($M$ je moment pôsobiacej sily, $\varepsilon$ je uhlové zrýchlenie telesa).

Výpočet momentu zotrvačnosti

Úlohou momentu zotrvačnosti je za pomoci vzťahu $1/2\,I\omega ^{2}$ vyjadrovať kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa. Táto kinetická energia otáčavého pohybu však nie je nič iné než súčet kinetických energií všetkých malých kúskov, na ktoré si skúmané teleso môžeme v mysli rozdeliť. Každú z nich pritom môžeme vypočítať pomocou vzťahu $1/2\,m_{k}v_{k}^{2}$, kde $m_{k}$ je hmotnosť daného malého kúska a $v_{k}$ je jeho rýchlosť (malosť kúska je tu potrebná na to, aby sme mohli považovať rýchlosť všetkých jeho častí za približne rovnakú - pri otáčavom pohybe sa totiž časti telesa rôzne vzdialené od osi otáčania pohybujú rôznymi rýchlosťami). Rýchlosť každého kúska závisí od jeho vzdialenosti od osi otáčania $r_{k}$ podľa vzťahu $v_{k}=\omega r_{k}$. Ak si teraz jednotlivé malé kúsky očíslujeme číslami od 1 do $n$, celkovú kinetickú energiu otáčajúceho sa telesa môžeme napísať ako

$E_{k}={\frac {1}{2}}m_{1}r_{1}^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}r_{2}^{2}\omega ^{2}+\dots +{\frac {1}{2}}m_{n}r_{n}^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}{\Big (}m_{1}r_{1}^{2}+\dots +m_{n}r_{n}^{2}{\Big )}\omega ^{2}.$

Takýmto jednoduchým sčítaním sme sa od vzťahov pre kinetickú energiu posuvného pohybu dostali k vzťahu pre otáčavý pohyb, kde namiesto rýchlosti $v$ vystupuje uhlová rýchlosť $\omega$. Porovnaním so vzťahom $1/2\,I\omega ^{2}$ je jasné, že moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na danú os je vyjadrený súčtom v zátvorke, teda

$I=m_{1}r_{1}^{2}+\dots +m_{n}r_{n}^{2}.$

Problém tu spočíva v tom, že telesá majú spojito rozloženú hmotnosť. Preto nie je možné ich rozdeliť na malý počet "malých častí" (spomeňme si, prečo bola tá malosť častí taká dôležitá) a jednoducho sčítať podľa predchádzajúceho vzťahu. Je nutné použiť integrálny počet, pomocou ktorého dokážeme zapísať moment zotrvačnosti spojito rozdeleného telesa vzťahom

$I=\int r^{2}\,\mathrm {d} m,$

pričom tu integrujeme cez celý objem telesa.

Jedno teleso však predsa len zvládneme aj z hlavy - je ním tenká obruč s polomerom $r$ a hmotnosťou $m$, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na jej rovinu a prechádzajúcej stredom obruče. V tom prípade má totiž celá obruč rovnakú vzdialenosť od osi otáčania rovnú $r$, nepotrebujeme ju preto vôbec deliť a priamo môžeme napísať $I=mr^{2}$. Momenty zotrvačnosti niekoľkých ďalších telies sú v nasledujúcom zozname.

• guľa (os otáčania prechádzajúca stredom): $I={\frac {2}{5}}mr^{2}$
• valec (os otáčania totožná s osou valca): $I={\frac {1}{2}}mr^{2}$
• tenká tyč dĺžky $L$ (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej stredom): $I={\frac {1}{12}}mL^{2}$
• tenká tyč dĺžky $L$ (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej koncom): $I={\frac {1}{3}}mL^{2}$

Steinerova veta

Ak chceme vypočítať moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os neprechádzajúcu ťažiskom, pričom poznáme moment zotrvačnosti $I_{0}$ vzhľadom na s ňou rovnobežnú os, ktorá ťažiskom prechádza, môžeme si pomôcť Steinerovou vetou. Podľa nej ak je hmotnosť telesa $m$ a vzdialenosť dvoch spomínaných osí $d$, moment zotrvačnosti $I$ vzhľadom na tú, ktorá neprechádza ťažiskom sa dá vypočítať pomocou vzťahu:

$I=I_{0}+md_{}^{2}.$

Pozri aj

• Vzorce pre výpočet momentu zotrvačnosti