Бесконачност

За друге употребе, погледајте Бесконачно (вишезначна одредница).

Знак за бесконачно у разним фонтовима.

Бесконачност (од лат: infinitas - неограничено; симбол: $\infty$) је битан појам у математици, филозофији и теологији. Овај појам није искуствен, јер га није могуће видети, опипати или на било који чулни начин спознати; он се обрађује искључиво мисаоним методама.

У филозофији, бесконачно је оно што је без почетка и свршетка, чему се не могу одредити границе, нити се може умски до краја схватити. У теологији, бесконачност је темељна ознака врховног бића (Бога), за разлику од створених бића која су нужно коначна и ограничена. У математици је то количина која није коначна.

У математици, „бесконачност” се обично третира као број (тј., њиме се пребројавају или мере ствари: „бесконачан број појмова”) али то није иста врста броја као природни или реални број.

Георг Кантор је формализовао многе идеје везане за бесконачност и бесконачне скупове током касног 19. и раног 20. века. У теорији коју је он развио, постоје бесконачни скупови различитих величина (званих кардиналности). На пример, скуп целих бројева је пребројиво бесконачан, док је бесконачни скуп реалних бројева непребројив.

Бесконачност у филозофији

Уроборос, симбол бесконачности у алхемији.

У филозофији, бесконачно је оно што је неограничено, што иде изван било које утврђене границе. Истраживање овог појма иде уназад барем до Зенона из Елеје, а математички приступ почиње са Еудоксом из Книда (4. век п. н. е.).

У филозофији простора и времена проблеми се појављују са бескрајно малом и са бескрајно великом или неограниченом природом. Кант је у антиномијама тврдио да је немогуће конзистентно посматрање простора или времена као коначног или бесконачног, а то је кључни елемент у његовој идеалистичкој теорији времена и простора као наметнутих непознатој природи од стране наших форми чулности.

Бесконачност у математици

Математика се бави величинама и користи се симболима. Стога је у математици бесконачност повезана са величинама (и има свој симбол). У математици постоји бесконачно велика величина, али такође и бесконачно мала величина (што је скоро исто што и нула). У природи бесконачност није реална претпоставка. Чак и када се говори о васиони, говори се о димензијама односно о некаквим границама. Када се говори о суперпроводности, није у питању бесконачно мала отпорност већ толико мала да није мерљива (али ипак постоји и може се исписати бројкама). Када се говори о бесконачности времена, употребљава се израз вечност.

Бесконачност је један од „тежих“ појмова филозофије, али у математици исти појам и није тако спекулативан. Нешто што је бесконачно у математици би требало бити у релацији поретка, не сме бити коначно и не сме бити контрадикторно. И то је све. Коначни су природни, цели, рационални и ирационални број, дакле сваки реалан број је коначан, а за комплексне не важи релација поретка и ту негде завршава спекулација.

Постоје две врсте бесконачности у математици данас: потенцијална и актуелна. Потенцијалну бесконачност су увели у математику Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц када су открили инфинитезимални рачун, а актуелну бесконачност су открили Георг Кантор и Јулијус Вилхелм Ричард Дедекинд са открићем теорије скупова.

Потенцијална бесконачност

Исак Њутн је у 17. веку открио да можемо рачунати на низ величина које постају веће од сваког унапред датог броја, и да при томе не упаднемо у контрадикције; своје откриће је назвао рачун флуксија. Негде у исто време, слично откриће имао је и Готфрид Лајбниц. Обојица су приметили да се тачки О на Х-оси можемо приближавати са десне стране, узимајући редом бројеве: 0,1 затим 0,01 па 0,001 итд. бесконачан низ корака, све мањих бројева, а да за неко коначно време, тј. за неки коначан број корака не можемо достићи тачну вредност нула. То је област инфинитезималног рачуна, на енглеском калкулус.

Актуелна бесконачност

Гаврилова труба, фигура која има бесконачну површину, али ограничену запремину.

Актуелна бесконачност је у математику ушла са Г. Кантором и Дедекиндом крајем XIX и почетком XX века. Оснивачи теорије скупова су приметили да пребројавати нешто значи успоставити функцију бијекцију - обострано једнозначно пресликавање, између скупа природних бројева и предмета које бројимо. Када бројимо лоптице у некој кутији, одвојимо прву и кажемо један, затим одвојимо другу и кажемо два, одвојимо трећу - три, итд. док не извадимо последњу лоптицу из кутије. Последњи изговорени број је број лоптица у кутији, јер смо направили релацију где са тачно једним од бројева иде тачно једна од лоптица из кутије. Оснивачи теорије скупова су отишли и даље и упоредили су по величини неке познате скупове. Међусобно су упоредили величине скупова природних, целих, рационалних и ирационалних бројева. Број елемената скупа назвали су кардинални број тог скупа.

Пребројавање

У време када је откривено пребројавање већ је била веома развијена математичка анализа, Њутн-Лајбницов рачун, и знало се да не постоји највећи природни број (најмањи је број 1).

1. Први од наведених, скуп природних бројева {1, 2, 3, ...}, означили су са $\mathbb {N} \,$ и доделили му кардинални број алеф нула $\aleph _{o}.\,$ Приметимо да све што се може бројати редом: први, други, трећи, ... у бескрај, на начин да се у један такав низ могу ставити сви његови елементи, може прогласити скупом са кардиналним бројем алеф нула. За сваки такав скуп кажемо да је пребројив скуп.
2. Пребројив скуп је скуп целих бројева $\mathbb {Z} ,\,$ јер га целог можемо поређати у један низ, у којем нема понављања: 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, .... Приметимо да се овај скуп пребројава спорије, али да то није битно јер природних бројева има довољно. Кардинални број скупа целих бројева је такође алеф нула, тј. $kard(\mathbb {Z} )=\aleph _{o}.$
3. Пребројив је и скуп рационалних бројева, тј. скуп разломака $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}|m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.$
4. Није пребројив скуп ирационалних бројева $\mathbb {I} .$

Према томе није пребројив нити скуп реалних бројева $\mathbb {R} ,$ јер је он унија рационалних и ирационалних, који немају међусобно једнаких елемената. Други закључак, оснивачи теорије скупова су нашли најмање две актуелне бесконачности, прву су назвали алеф нула, а друга је континуум.

Теореме

Теорема 1

Унија пребројиво много пребројивих скупова је пребројива.

Пребројавање пребројивих скупова

Доказ

Елементе пребројивих скупова можемо редати у низове. Елементе првог скупа означимо са $X_{11},X_{12},X_{13},...,$ другог скупа са $X_{21},X_{22},X_{23},...,$ трећег са $X_{31},X_{32},X_{33},...$ Сложимо ове низове у матрицу, као на слици десно, и кренимо их пребројавати по споредним дијагоналама. У првој дијагонали, горе лево, имамо само један елеменат $X_{11},$ у другој их имамо два $X_{21},X_{22},$ итд. у n-тој дијагонали имаћемо тачно n = 1, 2, 3, ... елемената. У свакој од ових дијагонала збир индекса Х-ова биће тачно n+1. Према томе, ако је унапред дат произвољан елеменат, било којег од ових скупова, нпр. $X_{kj}$, пре свега он се налази у унији, и са друге стране, налази се у n=k+j+1-тој дијагонали, тј. у току пребројавања доћи ће на ред након коначно много корака. Према томе, унија датих скупова је пребројива. Крај доказа.

Посебно, можемо лако израчунати редни број елемента $X_{kj}$ из пребројавања са слике. Рбр. је

(број свих елемената у претходним дијагоналама) + (бр. елемената у последњој дијагонали) =

(1 + 2 + 3 + ... + (k+j)) + j = ${\frac {(k+j)(k+j+1)}{2}}+j.$

Последица ове теореме је пребројивост скупа рационалних бројева. Поређамо разломке у редове матрице. Слева удесно, одозго надоле, стоје редови: ${\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},...$, затим ${\frac {2}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {2}{1}},...$, и тако даље. Овај скуп елемената је пребројив. Затим додамо нулу, и за сваког од ових разломака додамо по још један разломак исте апсолутне вредности али супротног знака. Елементи тако увећаног скупа се такође могу опет поређати, наизменично плус минус, у сличну матрицу. У току тог пребројавања, прескачемо елеменат, разломак чија се вредност понови.

Теорема 2

Скуп реалних бројева из интервала (0,1) није пребројив.

Број је у овом интервалу, ако је већи од нуле и мањи од један.

Доказ

Доказ ћемо извести свођењем на контрадикцију ( Канторов дијагонални поступак). Претпоставимо да је могуће све бројеве из (0,1) поређати у низ, и означимо тај низ са $(a_{n})$, tj. $a_{1},a_{2},a_{3}...$ Како се сваки реалан број може написати у облику децималног броја (бесконачног децималног разломка), који може завршавати и бесконачним бројем нула, то је низ:

$a_{1}=0,a_{11}a_{12}a_{13}...a_{1n}...$

$a_{2}=0,a_{21}a_{22}a_{23}...a_{2n}...$

$a_{3}=0,a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}...$

...

$a_{m}=0,a_{m1}a_{m2}a_{m3}...a_{mn}...$

...

где је $a_{kj}$ једна од цифара 0, 1, 2, ..., 9. Формирајмо сада реалан број $b=0,b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}...,$ где су децималне цифре $b_{n}$ такође цели бројеви од 0 до 9, и који је очигледно из истог интервала (0,1). По претпоставци, ма како му бирали цифре, овај број би сваки пут морао бити један од бројева из низа $(a_{n})$. Међутим, бираћемо цифре броја $b$ тако да је $b_{n}=1,$ ако је $a_{nn}=0$ и $b_{n}=0,$ ако $a_{nn}\neq 0.$ Погледајмо шта смо добили. Добили смо број b који није једнак ниједном броју низа a, јер се од сваког (нпр. к-тог у низу) разликује бар у једној цифри (к-тој). То је контрадикција са претпоставком да су у датом низу сви реални бројеви интервала (0,1). Крај доказа.

Кардинални број скупа реалних бројева назива се континуум и означава са с и $\aleph _{0}<c$. Претпоставка да између алеф нула и континуума нема других кардиналних бројева позната је као хипотеза континуума. Након Кантора, било је покушаја да се она докаже, или оспори, али без успеха, све до Гедела (Gödel) и Кохена (Cohen), који су доказали да је она независна од претходне теорије скупова, те да се она може прихватити као аксиома, или једнако одбацити. Ако прихватимо хипотезу континуума, онда уместо с можемо користити ознаку алеф један, тј. $\aleph _{1}.$

Примери

Рекли смо да су два скупа еквивалентна ако се између њих може успоставити бијекција, биунивока кореспонденција, односно обострано једнозначно пресликавање. Ако су скупови еквивалентни онда имају исти кардинални број, тј. број елемената. Ако скуп има једнако елемената као скуп природних бројева, онда за тај скуп кажемо да је пребројив и да му је кардинални број алеф нула, тј. $\aleph _{0}$.

Пример 1

Скуп природних бројева еквивалентан је скупу парних бројева.

Јер низ 2, 4, 6, ..., 2n, ... можемо пресликати на низ 1, 2, 3, ..., n, ... бијективно.

Пример 2

Сваки део пребројивог скупа је коначан или пребројив.

Објашњење

Нека је A пребројив скуп. Чланови скупа А могу се поређати у низ $A_{1},A_{2},A_{3}...$. Нека је $B\subseteq A$ и нека су $b_{1},b_{2}...$ они елементи низа А који су уједно елементи низа B. Ако међу овима не постоји највећи елеменат скуп B је коначан, у супротном он је пребројив.

Пример 3

(а) Скуп тачака у равни $(\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )$ чије су координате рационални бројеви је пребројив;

(б) Скуп тачака у к-димензионалном простору $(\mathbb {Q} ^{k})$ је пребројив.

Пример 4

Сваки бесконачан скуп садржи један пребројив подскуп.

Објашњење

Нека је А бесконачан скуп и нека је његов елеменат $a_{1}\in A.$ Тада, јер је А бесконачан, постоји пребројив низ елемената $a_{2}\neq a_{1};a_{3}\neq a_{1},a_{2};...$

Међутим, међу бесконачним бројевима, кардиналима, поредак није нешто што се подразумева по себи.

Пример 5

(Кантор-Бернштајнова теорема) Ако је скуп А еквивалентан једном делу скупа B, и ако је обратно, скуп B еквивалентан једном делу скупа А, тада су скупови А и B еквивалентни.

Види још

• Скуп
• Вечност
• Коначност

Литература

• O'Flaherty, Wendy Doniger (1986). Dreams, Illusion, and Other Realities. University of Chicago Press. стр. 243. ISBN 9780226618555. Архивирано из оригинала 29. 6. 2016. г. 
• Toker, Leona (1989). Nabokov: The Mystery of Literary Structures. Cornell University Press. стр. 159. ISBN 9780801422119. Архивирано из оригинала 09. 05. 2016. г. 
• Weyl, Hermann (2012). Pesic, Peter, ур. Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy. Dover. стр. 17. ISBN 978-0-486-48903-2. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. стр. 616. ISBN 978-0-691-11880-2. Архивирано из оригинала 03. 06. 2016. г.  Extract of pp. 616 Архивирано 2016-05-01 на сајту Wayback Machine
• Аљанчић, Слободан (1979). Увод у реалну и функционалну анализу. Грађевинска књига, Београд. 
• Cajori, Florian (1993) [1928 & 1929]. A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One). Dover. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• Gemignani, Michael C. (1990). Elementary Topology (2nd изд.). Dover. ISBN 978-0-486-66522-1. 
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd изд.) 
• Maddox, Randall B. (2002). Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Academic Press. ISBN 978-0-12-464976-7. 
• Russell, Bertrand (1996) [1903]. The Principles of Mathematics. New York, NY: Norton. ISBN 978-0-393-31404-5. OCLC 247299160. 
• Swokowski, Earl W. (1983). Calculus with Analytic Geometry (Alternate изд.). Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-341-1. 
• Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company 
• Wallace, David Foster (2004). Everything and More: A Compact History of Infinity. Norton, W. W. & Company, Inc. ISBN 978-0-393-32629-1. 
• Aczel, Amir D. (2001). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. New York: Pocket Books. ISBN 978-0-7434-2299-4. 
• D. P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.
• Bell, J. L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
• Jain, L. C. (1982). Exact Sciences from Jaina Sources. 
• Jain, L. C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (2nd изд.). Penguin Books. ISBN 978-0-14-027778-4. 
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Maor, Eli (1991). To Infinity and Beyond. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7. 
• O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Архивирано на сајту Wayback Machine (16. септембар 2006), MacTutor History of Mathematics archive.
• O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Архивирано на сајту Wayback Machine (20. децембар 2008), MacTutor History of Mathematics archive.
• Pearce, Ian. (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• Rucker, Rudy (1995). Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00172-2. 
• Singh, Navjyoti (1988). Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers. Journal of Asiatic Society. 30. 

Спољашње везе

• Бесконачно: Како је настао најинтелигентнији симбол (Б92, 20. новембар 2016)
• „The Infinite”. Internet Encyclopedia of Philosophy. 
• Infinity on In Our Time at the BBC. (listen now)
• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Архивирано на сајту Wayback Machine (27. фебруар 2010)
• Infinite Reflections Архивирано на сајту Wayback Machine (5. новембар 2009)
• Grime, James. „Infinity is bigger than you think”. Numberphile. Brady Haran. Архивирано из оригинала 22. 10. 2017. г. Приступљено 27. 10. 2017. 
• Infinity, Principia Cybernetica
• Hotel Infinity
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Архивирано на сајту Wayback Machine (16. септембар 2006), MacTutor History of Mathematics archive.
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Архивирано на сајту Wayback Machine (20. децембар 2008), MacTutor History of Mathematics archive.
• Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• = 25. 10. 2009.+04:16:26 Source page on medieval and modern writing on Infinity
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite