Inom matematiken är en andragradsyta en D -dimensionell hyperyta definierad som lösningsmängden till ett kvadratiskt polynom . Med koordinater {x0 , x1 , x2 , …, xD } definieras den allmänna andragradsytan av ekvationen
∑
i
,
j
=
0
D
Q
i
,
j
x
i
x
j
+
∑
i
=
0
D
P
i
x
i
+
R
=
0
{\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}
där Q är en D +1 dimensionell matris , P är en D + 1 dimensionell vektor , och R en konstant. Värdena Q , P och R tas ofta som reella tal eller komplexa tal.
I normalform skrivs en tre-dimensionell (D = 3) andragradsyta centrerad i origo (0,0,0) som:
x
2
a
2
±
y
2
b
2
±
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
Med translationer och rotationer kan varje andragradsyta transformeras till en av flera normalformer. I det tredimensionella euklidiska rummet finns 16 sådana normalformer och de mest intressanta är
Yta
Ekvation
Plot
Ellipsoid
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}
Elliptisk paraboloid
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}
Hyperbolisk paraboloid
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}
Enmantlad elliptisk hyperboloid
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}
Tvåmantlad elliptisk hyperboloid
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
−
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1}
Elliptisk cylinder
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}
Hyperbolisk cylinder
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}
Parabolisk cylinder
x
2
+
2
a
y
=
0
{\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}
Sfäroider (specialfall av ellipsoider)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
z
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}
Sfär (specialfall av sfäroid )
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
z
2
a
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}
Cirkulär paraboloid (specialfall av elliptisk paraboloid)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}
Enmantlad cirkulär hyperboloid
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=1}
Tvåmantlad cirkulär hyperboloid
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
2
b
2
=
−
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=-1}
Elliptisk kon
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
2
b
2
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0}
Cirkulär cylinder
x
2
a
2
+
y
2
a
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1}
Cirkulär kon
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
2
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z^{2}=0}
[1] , Quadrics in Geometry Formulas and Facts av Silvio Levy, utdrag från 30:e upplagan av "CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)".
