Aritmetiskt tal

Inom talteorin är ett aritmetiskt tal ett heltal vars aritmetiska medelvärde av dess positiva delare är ett heltal.

De första talen i talföljden är:

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 102, 103, 105 … (talföljd A003601 i OEIS)

Alla primtal utom 2 är aritmetiska tal. Det är känt att den asymptotiska densiteten av sådana tal är 1:^[1] i själva verket den andel av tal som är mindre än X och inte aritmetiskt asymptotiska.^[2]

\exp \left({-c{\sqrt {\log \log X}}}\right)

där c = 2 √ log 2 + o(1).

Ett tal N är aritmetiskt om antalet delare d(N) dividerar summan av delarna σ(N). Det är känt att den densitet av heltal N för vilken d(N)² delar σ(N) är 1/2.^[1]^[2]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Arithmetic number, 9 oktober 2013.

Fotnoter

^ [a b] Guy (2004) p.76
^ [a b] Bateman, Paul T.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl; Straus, E.G. (1981). ”The arithmetic mean of the divisors of an integer”. i Knopp, M.I.. Analytic number theory, Proc. Conf., Temple Univ., 1980. Lecture Notes in Mathematics. "899". Springer-Verlag. sid. 197–220. http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/31.pdf

Tryckta källor

Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd). Springer-Verlag. sid. B2. ISBN 978-0-387-20860-2

[G76-1] [a b] Guy (2004) p.76

[BEPS-2] [a b] Bateman, Paul T.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl; Straus, E.G. (1981). ”The arithmetic mean of the divisors of an integer”. i Knopp, M.I.. Analytic number theory, Proc. Conf., Temple Univ., 1980. Lecture Notes in Mathematics. "899". Springer-Verlag. sid. 197–220. http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/31.pdf

[1]

[2]