Minsta gemensamma nämnare

Minsta gemensamma nämnare, förkortat MGN, är ett heltal som används när man ska förenkla summan av rationella tal (tal skrivna som bråk) eller polynom skrivna som bråk och är den minsta gemensamma multipeln av bråktalens nämnare. Talet används för att reducera bråkuttrycken, men det är också användbart för att lösa kostnadskalkyler med objekt av olika ekonomisk livslängd inom företagsekonomi.

I det enklaste fallet, givet att man har två bråktal, B₁ / A₁ och B₂ / A₂, så är den minsta gemensamma nämnaren X till dessa tal det minsta tal sådant att X är en multipel av både A₁ och A₂, dvs X kan skrivas både som X = k₁A₁ och X = k₂A₂ för heltal k₁ och k₂. Om man har beräknat X och k₁ och k₂ kan detta sedan användas till att beräkna summan av de två bråken, eftersom k₁ / X = 1 / A₁ och k₂ / X = 1 / A₂:

{\frac {B_{1}}{A_{1}}}+{\frac {B_{2}}{A_{2}}}={\frac {k_{1}B_{1}}{X}}+{\frac {k_{2}B_{2}}{X}}={\frac {k_{1}B_{1}+k_{2}B_{2}}{X}}

Allmännare, om man har flera bråktal och nämnarna är heltalen A₁, A₂,...,A_n så är MGN minsta möjliga tal X sådant att X = k_iA_i, där k_i är heltal.

Beräkning

MGN kan beräknas med hjälp av största gemensamma delaren av nämnarna. Om största gemensamma delaren av A₁ och A₂ betecknas med SGD(A₁, A₂) så ges minsta gemensamma nämnaren av uttrycket

{\mbox{MGN}}(A_{1},A_{2})={\frac {A_{1}A_{2}}{{\mbox{SGD}}(A_{1},A_{2})}}

.

Exempel

Exempel 1

Vad är minsta gemensamma nämnare för 1/6 och 1/8?

Man kan enkelt hitta en gemensam multipel till 6 och 8, 6 × 8 = 48, vilket dock inte är den minsta gemensamma multipeln. Den minsta gemensamma multipeln är 24, vilket fås genom

{\frac {6\cdot 8}{\operatorname {SGD} (6,8)}}={\frac {48}{2}}=24

.

Exempel 2

Vad blir MGN för 7/792 + 3/616. Den största gemensamma delaren för 792 och 616 kan beräknas genom

792 = 1·616 + 176

616 = 3·176 + 88

176 = 2·88

och alltså är SGD(792, 616) = 88. Detta ger MGN(792, 616) = 792·616/88 = 5544.

Med hjälp av 616 = 7·88 och 792 = 9·88 kan uttrycket förenklas till

7/792 + 3/616 = (7·7 + 3·9)/5544 = 76/5544.

Notera: Om problemet hade varit 'förenkla 616/792' hade det räckt med att beräkna SGD.

Se även

Externa länkar

YouTube: Minsta Gemensamma Nämnare