Metrik av mått

Metrik av mått är en metrik mellan mått. Metrik av mått är en viktig struktur när man undersöker svag konvergens av mått.

Definitioner

Först behövs några definitioner för metriken.

Mängden av Radonmått är mängden av alla Radonmått i $\mathbb {R} ^{n}\,$ begränsade till Borelmängder $\mathrm {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}$:

${\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{\,\mu :\mathrm {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty ]\,\ |\,\ \mu {\mbox{ är ett Radonmått }}\right\}.\,$

Mängden av Lipschitzfunktioner är mängden av alla Lipschitzfunktioner definierad i en mängd $A\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ (se också $\infty \,$-Sobolevrummet):

$W^{1,\infty }(A):=\left\{\,f:A\to \mathbb {R} \,\ |\,\ f{\mbox{ är en Lipschitzfunktion }}\right\}.\,$

i-klass metriken av Radonmått, där $i\in \mathbb {N} \,$, är en funktion $d_{i}:{\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow \mathbb {R} \,$ definierad som:

$d_{i}(\mu ,\nu ):=\sup \left\{\,\left|\int f\,d\mu -\int f\,d\nu \right|\,:\,f\in W^{1,\infty }(B_{i}(0))\right\},\,$

dvs supremum av distansen för måttintegraler av mått $\mu ,\nu \in {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ över Lipschitzfunktioner i bollen $B_{i}(0)\,$.

Det går att visa att $({\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}),d_{i})\,$ är ett metriskt rum för alla $i\in \mathbb {N} \,$. Tyvärr det är inte ett fullständigt metriskt rum. Så istället definierar man en annan metrik med hjälp av metrikerna $d_{i}\,$, $i\in \mathbb {N} .$

Formell definition

Metrik av mått, $d\,$, är en formellt funktion ${\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow \mathbb {R} \,$ definierad som:

$d(\mu ,\nu ):=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\min \left\{1,d_{i}(\mu ,\nu )\right\},$

för $\mu ,\nu \in {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}).\,$

Det går att visa att rummet $({\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}),d)\,$, rummet av mått, är ett fullständigt metriskt rum och dessutom separabelt. Den täta och uppräkneliga delmängden av Radonmått i ${\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ är summan av Diracmått över mittpunkter av dyadiska kuber i $\mathbb {R} ^{n}$.

Svag konvergens av mått

Eftersom $({\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}),d)\,$ är ett metriskt rum man kan definiera konvergens av mått: en följd av mått $(\mu _{i})\,$ konvergera till $\mu \,$ om

$d(\mu _{i},\mu )\rightarrow 0\,$, när $i\rightarrow \infty \,$.

Man kallar den här typen av konvergens för svag konvergens av mått och skriver:

$\ \mu _{i}\rightharpoonup \mu ,\ \mu _{i}\ {\stackrel {\mathrm {w} }{\rightarrow }}\ \mu ,$ eller $\ \mu _{i}\ {\stackrel {\mathrm {*} }{\rightarrow }}\ \mu ,$

där w (eng. weak) och $\ast \,$ (eng. star) antyder på svaga stjärnatopologin av Radonmått.

Det går att visa att

$\ \mu _{i}\rightharpoonup \mu ,$

om och endast om

$\int f\,d\mu _{i}\rightarrow \int f\,d\mu \,$, när $i\rightarrow \infty \,$.

för alla $f\in C_{c}(\mathbb {R} ^{n})\,$ där $C_{c}(\mathbb {R} ^{n})\,$ är mängden av alla kontinuerliga funktioner i $\mathbb {R} ^{n}\,$ med kompakt stöd.

Anmärkning: det finns exempel av mängder $A\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ när $\mu _{i}\rightharpoonup \mu$ men $\mu _{i}(A)\nrightarrow \mu (A)\,$. Å andra sidan om $A\,$ är begränsad och $\mu (\partial A)=0\,$ så är $\mu _{i}(A)\rightarrow \mu (A)\,$ om $\mu _{i}\rightharpoonup \mu$.

Se även

• Måttrum
• Tangentmått