f
(
x
)
=
log
2
(
x
)
;
{\displaystyle {\color {Blue}f(x)}={\color {Blue}\log _{2}(x)};}
f
′
(
x
)
=
log
2
⋅
(
x
)
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'(x)}={\color {Periwinkle}\log 2\cdot (x)}}
f
−
1
(
x
)
=
2
x
;
{\displaystyle {\color {red}f^{-1}(x)}={\color {red}2^{x}};}
(
f
−
1
)
′
(
x
)
=
l
o
g
2
⋅
2
x
{\displaystyle {\color {Salmon}(f^{-1})'(x)}={\color {Salmon}log2\cdot 2^{x}}}
f
′
(
x
)
=
1
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x))}}}
x
0
≈
5.8
{\displaystyle x_{0}\approx 5.8}
f
′
(
x
0
)
=
1
4
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x_{0})={\frac {1}{4}}}
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
0
)
)
=
4
{\displaystyle {\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x_{0}))=4~}
நுண்கணிதத்தில் , வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி அல்லது நேர்மாறுச் சார்பு விதி (Inverse funcion rule ) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.
விதியின் கூற்று:
சார்பு
f
{\displaystyle f}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்
x
=
a
{\displaystyle x=a}
[
f
−
1
]
′
(
a
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
a
)
)
{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}
இது லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில் தரப்பட்டுள்ளது.
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் :
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1}
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}
ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவும் அதன் நேர்மாறின் வகைக்கெழுவும் தலைகீழிகளாக அமைகின்றன.
இது சங்கிலி விதியிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது:
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
d
x
d
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}=1}
(
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று y = x கோட்டைப் பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். பிரதிபலிப்புச் செயலால் ஒரு கோட்டின் சாய்வும் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும்.
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.
y
=
x
2
{\displaystyle \,y=x^{2}}
இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு (
x
{\displaystyle x}
x
=
y
{\displaystyle x={\sqrt {y}}}
d
y
d
x
=
2
x
;
d
x
d
y
=
1
2
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}}
d
y
d
x
⋅
d
x
d
y
=
2
x
⋅
1
2
y
=
2
x
2
x
=
1.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {2x}{2x}}=1.}
எனினும் x = 0தொடுகோட்டிற்கு ஒத்தவாறு வர்க்கமூலச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்தாக அமையும்.
y
=
e
x
{\displaystyle \,y=e^{x}}
இதன் நேர்மாறுச் சார்பு (
y
{\displaystyle y}
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln {y}}
d
y
d
x
=
e
x
;
d
x
d
y
=
1
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}
d
y
d
x
⋅
d
x
d
y
=
e
x
⋅
1
y
=
e
x
e
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}
நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிட ,
f
−
1
(
x
)
=
∫
1
f
′
(
f
−
1
(
x
)
)
d
x
+
c
{\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+c}
இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள்,
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
இதிலிருந்து தொடர்ச்சியான வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது. [ தொகு ] முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
1
(
1
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1\quad \quad (1)}
இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும்
x
{\displaystyle x}
d
2
y
d
x
2
⋅
d
x
d
y
+
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}
d
2
y
d
x
2
⋅
d
x
d
y
=
−
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}
d
2
y
d
x
2
=
−
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
3
(
2
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}\quad \quad (2)}
d
2
x
d
y
2
=
−
d
2
y
d
x
2
(
d
y
d
x
)
3
(
∗
∗
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{({\frac {dy}{dx}})^{3}}}\quad \quad (**)}
லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:
(
f
−
1
)
″
(
y
)
=
−
f
″
(
y
)
[
f
′
(
y
)
]
3
{\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)={\frac {-f''(y)}{[f'(y)]^{3}}}}
முடிவு (2) ஐ மீண்டும்
x
{\displaystyle x}
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
−
3
d
2
x
d
y
2
⋅
d
2
y
d
x
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
+
3
(
d
2
x
d
y
2
)
2
⋅
(
d
y
d
x
)
5
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}
d
3
x
d
y
3
=
−
d
3
y
d
x
3
+
3
(
d
2
x
d
y
2
)
2
⋅
(
d
y
d
x
)
5
(
d
y
d
x
)
4
(
∗
∗
∗
)
{\displaystyle {\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}={\frac {{\frac {-d^{3}y}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}}}\quad \quad (***)}
இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே ஃபா டி புருனோ வின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.
y
=
e
x
{\displaystyle \,y=e^{x}}
இதன் நேர்மாறுச் சார்பு,
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln y}
d
y
d
x
=
e
x
=
y
;
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}=y;}
d
2
y
d
x
2
=
e
x
=
y
;
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y;}
(
d
y
d
x
)
3
=
y
3
;
{\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}
இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,
d
2
x
d
y
2
⋅
y
3
+
y
=
0
;
d
2
x
d
y
2
=
−
1
y
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln y}
![{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662f1be67eb38c8d7ecf30fd8afda594671fbeec)
![{\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)={\frac {-f''(y)}{[f'(y)]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf58b29206b712c4075fd131a6515bb769fbd165)
