รูปสี่เหลี่ยมคางหมู

รูปสี่เหลี่ยมคางหมู
รูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่ง
ชนิด	รูปสี่เหลี่ยม
ขอบและจุดยอด	4
พื้นที่	${\tfrac {a+b}{2}}h$
สมบัติ	รูปหลายเหลี่ยมนูน

ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนหนึ่งคู่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ที่สำเนียงอังกฤษและออสเตรเลียเรียกว่า trapezoid

นิยาม

มีข้อถกเถียงกันเกี่ยวกับจำนวนด้านที่ขนานกันในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ปัญหาอยู่ที่ว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านขนานกันสองคู่ควรจัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือไม่ ผู้แต่งตำรากลุ่มหนึ่ง นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน เพียงหนึ่งคู่เท่านั้น โดยไม่นำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมารวม ราชบัณฑิตยสถานได้ให้นิยามของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว และพจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ของสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ได้ให้คำนิยามไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามขนานกันคู่หนึ่ง และคู่เดียวเท่านั้น

ผู้แต่งตำราอีกกลุ่มหนึ่ง นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน อย่างน้อยหนึ่งคู่ ซึ่งทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (รวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย) นิยามอย่างหลังสอดคล้องกับการใช้งานในคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่าเช่นแคลคูลัส แนวคิดการประมาณด้วยหลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู (trapezoidal rule) ของปริพันธ์จำกัดเขตจะไม่สมบูรณ์หากใช้นิยามอย่างแรก

พื้นที่

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ สามารถคำนวณได้จาก

$\mathrm {Area} ={\frac {a+b}{2}}\cdot h$

เมื่อ a, b คือความยาวของด้านคู่ขนานและ h คือความสูงระหว่างด้านคู่ขนาน เมื่อประมาณ ค.ศ. 499 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ อารยภฏะ ได้ใช้วิธีการคำนวณนี้ในศาสตรนิพนธ์ อารยภฏียะ (ตอนที่ 2.8) สูตรนี้เป็นผลได้มาจากกรณีพิเศษของสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมอันเป็นที่รู้จัก โดยพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมคือภาวะลดรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งด้านที่ขนานกันด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด

ส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกัน ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้ m เท่ากับค่าเฉลี่ยความยาวของด้านคู่ขนานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

$m={\frac {a+b}{2}}$

เป็นผลให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคูณด้วยความสูง

$\mathrm {Area} =mh\,$

ถ้าให้ a, b เป็นด้านที่ขนานกันและ c, d เป็นด้านที่ไม่ขนานกัน ในกรณีที่ด้านคู่ขนานยาวไม่เท่ากัน (a ≠ b) จะสามารถคำนวณหาความสูง h ได้จากสูตรนี้

$h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2(b-a)}}$

และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ

$\mathrm {Area} ={\frac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}$

เมื่อด้านคู่ขนานด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด (a = 0) สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของเฮรอนสำหรับคำนวณพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่า ซึ่งดูคล้ายสูตรของเฮรอนมากกว่าคือ

$\mathrm {Area} ={\frac {(a+b)}{b-a}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}$

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$

โดยที่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู แม้สูตรนี้จะดูคล้ายสูตรของพรัหมคุปตะแต่ก็มีบางจุดที่ต่างไป เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอาจไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (บรรจุภายในรูปวงกลมพอดีไม่ได้) สูตรนี้ก็ยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรทชไนเดอร์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป

หากใช้สูตรของเบรทชไนเดอร์จะได้

$\mathrm {Area} ={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{(2(b-a))^{2}}}-\left({\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{4}}\right)^{2}}}$

จุดกึ่งกลางของพื้นที่ (ศูนย์กลางมวลของแผ่นเอกรูป) อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ขนานกัน ในระยะห่างตั้งฉาก d จากด้านที่ยาวกว่า b ดังนี้

$d={\frac {h}{3}}\cdot \left({\frac {2a+b}{a+b}}\right)$

สมบัติ

• รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูชนิดหนึ่ง มีสมบัติเพิ่มเติมว่ามุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่ขนานจะยาวเท่ากัน
• รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ต่อเมื่อมุมที่อยู่ติดกันรวมเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (180 องศา) จำนวนสองคู่ เงื่อนไขอีกอย่างหนึ่งที่สำคัญและเพียงพอคือ เส้นทแยงมุมตัดกันด้วยอัตราส่วนของความยาวเท่ากัน (ค่านี้เป็นค่าเดียวกับอัตราส่วนระหว่างด้านคู่ขนาน)
• เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านคู่ขนานทั้งสองแบ่งครึ่งพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

• 

  ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูปด้วยเส้นทแยงมุม AC และ BD (ดังภาพด้านขวามือ) ซึ่งตัดกันที่จุด O ดังนั้นพื้นที่ของ  AOD เท่ากับพื้นที่ของ  BOC และผลคูณของพื้นที่ระหว่าง  AOD กับ  BOC เท่ากับผลคูณของพื้นที่ระหว่าง  AOB กับ  COD อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ขนาน
• ความยาวของเส้นทแยงมุม p, q เท่ากับ (a, b คือความยาวของด้านคู่ขนาน)

  $p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}}$

  $q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}$

• กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ F กับ G เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน DA กับ BC ตามลำดับซึ่งทำให้ FEG ขนานกับด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; จะได้ว่า FG คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ AB กับ DC นั่นคือ

  ${\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right)$

สถาปัตยกรรม

วิหาร Dendur ซึ่งจัดแสดงในพิพิธภัณฑ์ศิลปะนิวยอร์ก

ในสถาปัตยกรรมแบบอียิปต์โบราณ มีการเจาะช่องหน้าต่าง ประตู และการก่อสร้างตัวอาคารเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยมีด้านฐานกว้างกว่าด้านยอด

ดูเพิ่ม

• polite number หรือในอีกชื่อหนึ่งคือ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมคางหมู
• หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู

แหล่งข้อมูลอื่น

• Trapezoid definition   Area of a trapezoid   Median of a trapezoid With interactive animations
• Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
• [1] on Numerical Methods for Stem Undergraduate
• Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) [2]