Дельта-функция

Бер үлчәмле дельта-функция.

Дельта-функция яки Дирак дельта функциясе, δ-функция — нокталы тәэсирне күрсәтүче яки бер ноктада тупланган физик зурлыклар (масса, коргы, көч һ.б.) тыгызлыгын тасвирлаучы гомумиләштерелгән функция.

Мәсәлән бер ноктада а тупланган m массасы тыгызлыгы бер үлчәмле Евклид фәзасында болай күрсәтелә: $m\delta (x-a).$

Инглиз физигы Поль Дирак тарафыннан кертелгән.

Тасвир

Бер чын үзгәрмә зурлыктан дельта-функция $\delta (x)$ болай билгеләнә:

• $\delta (x)=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,&x=0,\\0,&x\neq 0;\\\end{matrix}}\right.$
• $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\,dx=1.$

Әлеге билгеләмәдән бик мөһим үзлеге чыгарыла:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y)$

Дельта-функциядән чыгарылма һәркайда 0 гә тигез, тик x=0 ноктасында $\pm \infty$ тигез.

Үзлекләре

• Нуль белән теләгән интервал буенча дельта-функциядән интеграл 1-гә тигез.
• $x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x).$
• $\delta (f(x))=\sum _{k}{\frac {\delta (x-x_{k})}{|f'(x_{k})|}}$, биредә $x_{k}$ — $f(x)$. функциясенең нульләре

Хевисайд функциясе.

• дельта-функцидән баштагы функция - Хевисайд функциясе

$\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\{\dfrac {1}{2}},&x=0,\\1,&x>0.\\\end{array}}\right.$

• Фильтр үзлеге:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$

• Интеграль күренеше:

$\delta (t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\,d\omega .$

Әдәбият

• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
• Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
• Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
• Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.