Покриття множини

В математиці, покриттям множини $X$ називають сімейство множин, об'єднання яких містить $X$ як підмножину. Формальною мовою, якщо

$C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$

є індексованим сімейством множин $U_{\alpha }$, тоді $C$ є покриттям для $X$, якщо

$X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

Означення

Покриття множини $X$ — це сімейство $C=\{O_{\alpha }\}$ таких множин $O_{\alpha }$, об'єднання яких містить задану множину:

$X\subseteq \bigcup O_{\alpha }$

Якщо всі множини, що входять в цю сім'ю, є відкритими (є елементами топології), то таке покриття називають відкритим. Будь-яка підмножина із сімейства покриття $D\subset C$, яка теж є покриттям для $X$ називається підпокриттям множини $X$.

Відкрите покриття:

Якщо $(X,\;{\mathcal {T}})$ —— топологічний простір і $A$ підмножина $X$, то відкритим покриттям множини $A$ називається такий набір $\{O_{\alpha }\}$ відкритих множин $O_{\alpha }$, який її містить:

$A\in \subset \bigcup \limits _{\alpha }O_{\alpha }$

Піднабір з $\{O_{\alpha }\}$ який теж містить $A$ називають підпокриттям.

Подрібнення

Подрібненням $D$ покриття $C$ називається таке покриття, кожна множина якого міститься хоча б в одній з множин $C$. Нехай $C=\{O_{\alpha }\}$ — покриття множини $X$. Покриття $D=\{V_{\beta }\}$ називатиметься подрібненням $C$, якщо:

$\forall \beta \ \exists \alpha \ V_{\beta }\subseteq O_{\alpha }$.

Кожне підпокриття є подрібненням, проте не навпаки.

Локально-скінченне покриття

Покриття топологічного простору $\{V_{\beta }\}$ називаєтья локально-скінченним, якщо будь-яка точка топологічного простору має такий окіл, що перетинається лише із скінченною кількістю множин покриття:

$\forall x\in X\,\exists W,\,W\cap V_{\beta }\neq \emptyset ,\beta =1\ldots N$, $W$ — окіл $x$

Див. також

• Задача про покриття множини
• Нерв покриття

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Introduction to Topology, Second Edition, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
• General Topology, John L. Kelley. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.