Синус

Тригонометрія
Обрис Історія Застосування Функції (обернені) Полігонометрія
Посилання
Тотожності Точні сталі Таблиці Одиничне коло
Закони і теореми
Синуси Косинуси Тангенси Котангенси Теорема Піфагора
Обчислення
Тригонометричні підстановки Інтеграли (обернені функції) Похідні

Синус (лат. sinus — «пазуха») — тригонометрична функція кута. Визначення синусу гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).

У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що належить до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.

Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.

Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар'ябхатія, Сур'я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха. Таблиця синусів містить числові значення функції синусу.

Визначення в контексті прямокутного трикутника

Для кута α, функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи, $\sin \alpha ={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}$

При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:

• протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
• гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
• прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.

У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).

Як уже зазначалося, значення функції sin(α) залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.

В контексті одиничного кола

Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна t задає значення Кута.

В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром в початку координат (0, 0) декартової системи координат.

Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x- і y-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і sin(θ), відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.

На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.

Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.

Анімація показує як функція синусу (червона) $y=\sin(\theta )$ із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.

Тотожності

Точні тотожності (застосовуються до радіан): Застосовуються до всіх значень кута $\theta$.

$\sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc(\theta )}}$

Обернені

оберненим числом для синусу є косеканс, тобто обернене число для sin(A) записується як csc(A), або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:

$\csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}.$

Зворотні функції

Головні значення функції arcsin(x) зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.

Зворотньою функцією для синусу є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (sin^-1). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, sin(0) = 0, але також і sin(π) = 0, sin(2π) = 0 і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: arcsin(0) = 0, але також і arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз arcsin(x) прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\sin ^{-1}\left({\frac {a}{h}}\right).$

k є деяким цілим значенням:

${\begin{aligned}\sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ &y=\arcsin x+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\end{aligned}}$

або у вигляді одного рівняння:

$\sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k$

Arcsin задовольняє рівнянням:

$\sin(\arcsin(x))=x\!$

і

$\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad {\text{for }}-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}.$

Обчислення

Для функції синус:

$f(x)=\sin(x)\,$

Похідною є:

$f'(x)=\cos(x)\,$

Первісною функції є:

$\int f(x)\,dx=-\cos x+C$

C позначає Сталу інтегрування.

Зв'язок із іншими тригонометричними функціями

Функції синусу і косинусу можуть бути зв'язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: $\sin(\pi /2-x)$ = $\cos(x)$ для всіх кутів x. А також, похідною функції sin(x) є cos(x).

Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).

Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:

	f θ	З використанням плюса/мінуса (±)					З використанням функції (sgn)
		f θ =	± по чвертям				f θ =
			I	II	III	IV
cos	$\sin(\theta )$	$=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}$	+	+	−	−	$=\operatorname {sgn} \left(\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}$
	$\cos(\theta )$	$=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}$
cot	$\sin(\theta )$	$=\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}$	+	+	−	−	$=\operatorname {sgn} \left(\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}$
	$\cot(\theta )$	$=\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}$
tan	$\sin(\theta )$	$=\pm {\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\tan \left({\frac {2\theta +\pi }{4}}\right)\right){\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}$
	$\tan(\theta )$	$=\pm {\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$
sec	$\sin(\theta )$	$=\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}$	+	−	+	−	$=\operatorname {sgn} \left(\sec \left({\frac {4\theta -\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}$
	$\sec(\theta )$	$=\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$	+	−	−	+	$=\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$

Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.

Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:

$\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\!$

де sin²x означає (sin(x))².

Властивості пов'язані із чвертями

Чотири чверті Декартової системи координат.

В рамках чотирьох чвертей функція синусу має наступні властивості.

Чверть	Градуси	Радіани	Значення	Знак	Монотонність	Опуклість
1-а чверть	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<{\frac {\pi }{2}}$	$0<\sin(x)<1$	$+$	зростаюча	увігнута
2-а чверть	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}<x<\pi$	$0<\sin(x)<1$	$+$	спадна	увігнута
3-а чверть	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<{\frac {3\pi }{2}}$	$-1<\sin(x)<0$	$-$	спадна	опукла
4-а чверть	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi$	$-1<\sin(x)<0$	$-$	зростаюча	опукла

Точки на межах чвертей. k є цілим числом.

Чверті одиничного кола і функції sin x, у Декартовій системі координат.

Градуси	Радіани $0\leq x<2\pi$	Радіани	$\sin(x)$	Тип точки
$0^{\circ }$	$0$	$2\pi k$	$0$	Корінь, Точка перегину
$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$	$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$	$1$	Максимум
$180^{\circ }$	$\pi$	$2\pi k-\pi$	$0$	Корінь, Точка перегину
$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$	$-1$	Мінімум

Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2π радіан): $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )$, або $\sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin(\alpha )$. А також $\cos(x)={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}}$ і $\sin(x)={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2i}}$. Для доповнення синусу, маємо $\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )$.

Див. також

• Тригонометричні функції
• Формула Ейлера
• Гіперболічні функції
• Теорема синусів
• Синусоїда
• Рівняння синус-Ґордона

Посилання

• Синус // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.