Бінарна операція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Бінарна операція
Зображення
Попередник унарна операція
Наступник тернарна операція
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: Бінарна операція у Вікісховищі

Біна́рна опера́ція (двомісна операція) — це математичне правило комбінування двох елементів (які називаються операндами), для отримання іншого елемента. Формально, це операція арності 2 (див. Містність операції).

Визначення

[ред. | ред. код]

Бінарною операцією на множині є відображення декартового добутку в множину :

Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).

Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.

Бінарні операції є наріжним каменем алгебричних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.

Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.

За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.

Типи бінарних операцій

[ред. | ред. код]

Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.

Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.

Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.

Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.

Приклади бінарних операцій

[ред. | ред. код]

Зовнішні бінарні операції

[ред. | ред. код]

Зовнішня бінарна операція — це бінарна операція з в . Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".

Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S — векторним простором над цим полем.

Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
  • Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
  • Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

Посилання

[ред. | ред. код]