Вимірний простір

Вимірний простір використовується в математиці, зокрема в теорії міри, теорії імовірності.

Це пара об'єктів $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ , де $\displaystyle \Omega$ простір елементарних подій, або просто елементарний простір, а ${\mathcal {F}}$ — σ-алгебра елементарних подій задана на $\displaystyle \Omega$ , або просто $\sigma$ -алгебра задана на $\displaystyle \Omega$ .

Вимірний простір служить базою для утворення імовірнісного простору, останній утворюється заданням на вимірному просторі імовірнісної міри $P$ . Задання вимірного простору є одним кроком в межах аксіоматичного підходу до теорії імовірності запропонованого Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. Аксіоматичний підхід в теорії імовірностей найбільш продуктивний, в сенсі що в рамках цього підходу найлегше можна формулювати і доводити результати, легко пристосовувати теорію імовірностей до потреб інших наук, наприклад, фізики, фінансів тощо.

Елементи $\displaystyle \Omega$ називаються простими або елементарними подіями, а підмножини просто подіями. $\sigma$ -алгебра ${\mathcal {F}}$ складається з підмножин $\displaystyle \Omega$ .

Подія $A\subset \Omega$ називається вимірною, якщо $A\subset {\mathcal {F}}$

Приклади

Тривіальним вимірним простором є простір $(\Omega ,(\emptyset ,\Omega ))$ . Тобто $\sigma$ -алгебра в даному випадку складається з двох елементів: порожньої множини і простору елементарних подій.
Нехай маємо монету. Підкидання монети передбачає дві елементарні події: Г — випадання герба і Ч — випадання числа. Тобто маємо простір елементарних подій $\displaystyle \Omega =($ Г, Ч $\displaystyle )$ , і розглянемо $\sigma$ -алгебру всіх підмножин $\displaystyle \Omega$ , ${\mathcal {F}}=\{\emptyset ,\Omega ,$ Г, Ч $\displaystyle \}=\{\emptyset ,\{$ Г, Ч $\displaystyle \},$ Г, Ч $\displaystyle \}$