Метод Сімпсона

Метод Сімпсона одержується за допомогою інтерполяції функції f(x) (блакитний колір) квадратичним многочленом P(x) (червоний колір).

Метод Сімпсона є одним із методів чисельного інтегрування. Названий на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710—1761).

Формула

Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку $[a,b]$:

${\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\int \limits _{a}^{b}{p_{2}(x)}dx}={\frac {b-a}{6}}{\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)},$

де $f(a)$, $f((a+b)/2)$ і $f(b)$ — значення функції у відповідних точках .

Похибка

При умові, що функція $f(x)$ на відрізку $[a,b]$ має похідну четвертого порядку, похибка $E(f)$, дорівнює:

$E(f)=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}{f^{(4)}(\zeta )},\ \ \ \zeta \in [a,b].$

Зважаючи, що значення $\zeta$ переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:

$\left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\max \limits _{x\in [a,b]}{\left|f^{(4)}(x)\right|}.$

Виведення формули

Формула Сімпсона може бути виведена за допомогою багатьох різних способів.

Квадратична інтерполяція

Якщо замінити функцію $f(x)$ квадратичним поліномом $P(x)$ що приймає ті ж значення що й $f(x)$ у точках a,b і m = (a+b) / 2. використавши інтерполяційну формулу Лагранжа, то одержимо формулу:

$P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.$

Після необхідних обчислень одержуємо:

$\int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

Використання методів прямокутників і трапецій

У цьому способі виведення використовуються метод прямокутників:

$M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

і метод трапецій:

$T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).$

Похибки цих наближень дорівнюють

$-{\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O((b-a)^{4})\quad$і$\quad {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O((b-a)^{4}),$

відповідно. Звідси випливає, що аби позбутися третього степеня слід взяти для наближення величину

${\frac {2M+T}{3}}.$

Однак таким чином одержується формула Сімпсона.

Метод невизначених коефіцієнтів

Запишемо в загальному виді:

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).$

Коефіцієнти α, β і γ можуть бути знайдені з вимоги, що дане наближення є точним для всіх многочленів другого степеня. Таким чином знову ж одержується метод Сімпсона.

Ітераційна формула

Для точнішого обчислення інтеграла проміжок $[a,b]$ розбивають на $N$ відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.

${\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \left({\frac {1}{2}}f(x_{0})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+2\sum _{k=1}^{N}f\left({\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}f(x_{N})\right)$

де $h={\frac {b-a}{N}}$ величина кроку, а $x_{k}=a+k\cdot h$ межі відрізків.

Загальну похибку $E(f)$ при інтегруванні на відрізку $[a,b]$ з кроком $x_{i}-x_{i-1}=h$ визначають за формулою:

$\left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{2880}}h^{4}\max \limits _{x\in [a,b]}|f^{(4)}(x)|$.

При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:

$\left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{288}}h^{3}\max \limits _{x\in [a,b]}|f^{(3)}(x)|$.

Приклади реалізації

Реалізація на C#:

using System;

namespace NumericIntgeration
{
    internal class Program
    {
        private delegate double Func(double x);

        private static void Main()
        {
            const int n = 10000;
            double result = SimpsonMethod(0.0, 2.0, n, x => x * Math.Exp(Math.Sqrt(x)));
            Console.WriteLine("x = {0}", result);

            Console.ReadKey();
        }
        private static double SimpsonMethod(double a, double b, int n, Func func)
        {
            double h = (b - a) / n;
            double s = (func(a) + func(b)) * 0.5;
            for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
            {
                double xk = a + h * i; //xk
                double xk1 = a + h * (i - 1); //Xk-1
                s += func(xk) + 2 * func((xk1 + xk) / 2);
            }
            var x = a + h * n; //xk
            var x1 = a + h * (n - 1); //Xk-1
            s += 2 * func((x1 + x) / 2);

            return s * h / 3.0;
        }
    }
}

Див. також

• Чисельне інтегрування
• Метод прямокутників
• Метод трапецій

Література

• Формула парабол (формула Сімпсона) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 450. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)