Незалежність (теорія ймовірностей)

Частина серії статей з статистики
Теорія ймовірностей
Аксіоми
Ймовірнісний простір Простір елементарних подій Елементарна подія Випадкова подія Випадкова величина Міра ймовірності
Доповнювальна подія Спільний розподіл Відособлений розподіл Умовна ймовірність
Незалежність Умовна незалежність Формула повної ймовірності Закон великих чисел Теорема Баєса Нерівність Буля
Діаграма Венна Деревна діаграма

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює імовірність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називають незалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.

Незалежні події

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$.

Означення 1. Дві події $A,B\in {\mathcal {F}}$ називають незалежними, якщо

$\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)$.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажімо $B$, ненульова, тобто $\mathbb {P} (B)>0$, визначення незалежності еквівалентне:

$\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A)$,

тобто умовна ймовірність події $~A$ за умови $~B$ дорівнює безумовній імовірності події $~A$.

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$, де $~I$ — довільна індексна множина. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

$\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\not =j$.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$. Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій $\{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}$ вірно:

$\mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{n}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\ldots \mathbb {P} (A_{i_{n}})$.

Приклад 1. Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в першому випробуванні не залежить від появи чи відсутності герба в другому випробуванні. В свою чергу, ймовірність того, що герб випаде в другому випробуванні не залежить від результатів першого випробування. Отже, події А — «поява герба в першому випробуванні» і В — «поява герба в другому випробуванні» — незалежні.

Приклад 2. В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї навмання беруть кульку. Ймовірність появи білої кульки (подія А) дорівнює ${\frac {5}{9}}$. Взяту кульку повертають в урну і продовжують випробування. Ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія В), також дорівнює ${\frac {5}{9}}$. В свою чергу, ймовірність витягти білу кульку при першому випробуванні, не залежить від другого випробування. Отже, події А і В — незалежні.

Приклад 3. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:

• $~A_{1}$: монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
• $~A_{2}$: монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
• $~A_{3}$: монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;

залежні, бо знаючи, наприклад, що події $~A_{1},A_{2}$ сталися, ми знаємо точно, що $~A_{3}$ також сталося.

Те що три і більше події попарно незалежні, не означає, що вони незалежні в сукупності. Дивіться приклад Бернштейна.

Незалежні σ-алгебри

Означення 4. Нехай ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ дві сигма-алгебри на одному і тому ж ймовірнісному просторі. Вони називаються незалежними, якщо будь-які їх представники незалежні між собою, тобто:

$\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\,A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}$.

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

Спадкова незалежність

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо $\xi$ та $\eta$ - незалежні випадкові величини, а $f(\cdot ),g(\cdot )$ - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень $\xi$ та $\eta$ відповідно, то $f(\xi )$ та $g(\eta )$ - незалежні випадкові величини.

• Нехай $\mathbb {P} ^{X,y}$ - розподіл випадкового вектора $(X,y)$, $\mathbb {P} ^{X}$ - розподіл $X$ і $\mathbb {P} ^{Y}$ - розподіл $Y$. Тоді $X,Y$ незалежними тоді і лише тоді, коли

$\mathbb {P} ^{X,y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}$,

де $\otimes$ позначає (прямий) добуток мір;

• Нехай $F_{X,y},F_{x},F_{y}$ - кумулятивні функції розподілу $(X,y),X,Y$ відповідно. Тоді $X,Y$ незалежні тоді і лише тоді, коли

$F_{X,y}(x,y)=F_{x}(x)\cdot F_{y}(y)$;

• Нехай випадкові величини $X,Y$ дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$\mathbb {P} (X=i,Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j)$.

• Нехай випадкові величини $X,Y$ спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність $f_{X,Y}(x,y)$. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$,

де $f_{X}(x),f_{Y}(y)$ - щільність випадкових величин $X$ і $Y$ відповідно.

Див. також

• Незалежні однаково розподілені випадкові величини

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)