Однолиста функція

У комплексному аналізі, голоморфна функція на відкритій підмножині комплексної площини називається однолистою якщо вона є ін'єктивною.

Вивчення однолистих функцій має важливе значення у геометрії чисел. Серед основних задач теорії однолистих функцій є вивчення відповідності границь областей при конформному відображенні, отримання умов при яких функція буде однолистою і знаходження розв'язків різних екстремальних задач теорії функцій, зокрема одержання оцінок різних функціоналів і областей значень функціоналів і їх систем в тому

або іншому класі.

Згідно теореми Рімана між будь-якими однозв'язними областями не рівними усій комплексній площині існує біголоморфне відображення, що переводить одну область в іншу. Це відображення і його обернене будуть очевидно однолистими голоморфними функціями. Тому вивчення однолистих функцій на деякій конкретній однозв'язній області є важливим для вивчення однолистих функцій на інших однозв'язних областях. Зважаючи на це особливе значення має вивчення однолистих функцій на одиничному крузі $\Delta =\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|<1\}.$ Оскільки для однолистої функції $f(z)$ функції $f(z)-w,\;w\in \mathbb {C}$ і $wf(z),\;w\in \mathbb {C} ,\;w\neq 0$ теж будуть однолистими то додатково при розгляді однолистих функцій на одиничному крузі часто вимагаються умови нормованості: $f(0)=0,\ f'(0)=1.$ Клас однолистих функцій на одиничному крузі, що задовольняють умови нормованості буде позначатися $S.$

Приклади

• Розглянемо відображення $\phi _{a}$ із відкритого одиничного круга в себе задане як:

$\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}}.$

Тоді $\phi _{a}$ є однолистою функцією для $|a|<1$.

• Важливими прикладами функцій класу $S$ (тобто голоморфних однолистих функцій на одиничному крузі із відповідною нормалізацією) є функція Кебе:

$f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}$

і узагальнені функції Кебе

$f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}$

де α є комплексним числом із абсолютним значенням рівним 1.

Основні властивості

Якщо $G$ і $\Omega$ є двома областями (відкритими і зв'язаними підмножинами) комплексної площини і

$f:G\to \Omega$

є однолистою функцією для якої $f(G)=\Omega$, тоді похідна $f$ ніколи не є рівною 0, $f$ є оборотною, і її обернена функція $f^{-1}$ є також голоморфною. Окрім того згідно правила диференціювання складеної функції:

$(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}$

для всіх $z\in G.$

Доведення

Оскільки $f$ не є константою, то його похідна не є рівною нулю в усіх точках області $G$, а тому нулі функції $f'$ є ізольованими. Припустимо, що $z_{0}\in G$ є такою точкою, що $f'(z_{0})=0$ і $f(z_{0})=w_{0}\in \Omega .$ Нехай $\rho >0$ таке число, що ${\bar {B}}(z_{0},\rho )=\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z-z_{0}|\leqslant \rho \}\subset G$ і у цьому крузі $f'$ має єдиний нуль у точці $z_{0}.$

Розглянемо функцію $N(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=\rho }{f'(z) \over {f(z)-w}}\,dz$ яку можна розглядати в якомусь зв'язаному відкритому околі $W$ точки $w_{0},$ що є підобластю області $f(B(z_{0},\rho )).$

Згідно принципу аргументу для кожної точки $w\in W$ функція $N(w)$ є рівною кількості нулів (з урахуванням кратності) голоморфної функції $f(z)-w$ у відкритому крузі $B(z_{0},\rho )$. Також з означення $N(w)$ випливає, що вона є неперервною на зв'язаному відкритому околі $W$ і тому, як неперервна функція із зв'язаної множини у множину цілих чисел, вона є константою. Для кожного $w\in W$ функція $f(z)-w$ має нуль лише в одній точці (оскільки вона теж є однолистою). Оскільки для всіх $z\in B(z_{0},\rho )\setminus z_{0}$ також $f'(z)\neq 0$ то для всіх $w\neq w_{0}$ також кратність цього нуля функції $f(z)-w$ є рівною одиниці, тобто $N(w)=1.$ Але звідси випливає, що $N(w_{0})=N(w)=1$ і тому кратність $z_{0}$ як кореня $f(z)-w_{0}$ є рівною одиниці. Це можливо лише якщо $f'(z_{0})\neq 0.$ Тобто $f'$ не має нулів у області $G$.

Для доведення голоморфності оберненої функції її локально можна записати через інтегральний вираз. Для цього нехай ${\bar {B}}(z_{0},\rho )\subset G$ і також $\delta =\min _{|z-z_{0}|=\rho }|f(z)-w_{0}|,$ де $f(z_{0})=w_{0}.$ Для $B(w_{0},\delta )=\{w\in \mathbb {C} \ |\ |w-w_{0}|<\delta \}\subset \Omega$ можна, як і вище ввести функцію $N(w)$ оскільки на границі ${\bar {B}}(z_{0},\rho )$ функція не набуває жодного із значень $w\in B(w_{0},\delta ).$ Як і вище $N(w)=1$ для всіх $w\in B(w_{0},\delta )$ і тому прообраз $B(w_{0},\delta )$ при функції $f^{-1}$ є підмножиною $B(z_{0},\rho ).$

Функцію $f^{-1}$ на $B(w_{0},\delta )$ можна задати за допомогою інтегральної формули:

$f^{-1}(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}\,d\xi \quad w\in B(w_{0},\delta ).$

Для доведення цієї рівності варто зауважити, що функція ${{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}$ має лише один простий полюс у $B(z_{0},\rho )$ у точці z в якій $f(z)=w,$ а тому, згідно основної теореми про лишки $f^{-1}(w)=\operatorname {Res} ({{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}},z).$ Звідси, згідно властивостей лишків, $f^{-1}(w)=\lim _{\xi \to z}(\xi -z){{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}=z$ (тут, зокрема, використовується, що $f'(z)\neq 0$).

Оскільки вибір $z_{0}$ і $W_{0}$ був довільним для доведення голоморфності $f^{-1}$ достатньо довести голоморфність локально для $B(w_{0},\delta )$ скориставшись доведеною формулою. Для цього потрібно довести існування

$\lim _{\Delta w\to 0}{\frac {1}{\Delta w}}\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}\,d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-(w+\Delta )}}\,d\xi \right)$

для всіх $w\in B(w_{0},\delta ).$ Для цього достатньо довести, що ця границя прямує до ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {(f(\xi )-w))^{2}}}\,d\xi$ для всіх $w\in B(w_{0},\delta ).$ Справді:

$\lim _{\Delta w\to 0}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{\frac {1}{\Delta w}}\left({{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}\,-{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-(w+\Delta w)}}\right)\,-{{\xi f'(\xi )} \over {(f(\xi )-w))^{2}}}\,d\xi \right|=\lim _{\Delta w\to 0}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\Delta w\xi f'(\xi )} \over {(f(\xi )-w)^{2}(f(\xi )-(w+\Delta w))}}\,\right|$

Далі, функція $\xi f'(\xi )$ є неперервною на множині $|\xi -z_{0}|=\rho$ і тому для всіх точок цієї множини $|\xi f'(\xi )|<M$ для деякого додатного числа у всіх точках множини $|\xi -z_{0}|=\rho$. Також, оскільки на множині $|\xi -z_{0}|=\rho$ функція f ніде не є рівною $w$ то існує число $\varepsilon >0$, таке що $|f(\xi )-w|>\varepsilon$ і також $|f(\xi )-(w+\Delta w)|>\varepsilon$ для всіх достатньо малих за модулем $\Delta w$. Для таких $\Delta w$ тоді у формулі вище підінтегральні вирази за модулем є меншими ${\frac {|\Delta w|M}{\varepsilon ^{3}}}$ і оскільки $\lim _{\Delta w\to 0}{\frac {|\Delta w|M}{\varepsilon ^{3}}}=0$ то це ж справедливо і для границь у попередній формулі. Це доводить існування комплексної похідної у всіх точках області визначення $f^{-1}$ і тому голоморфність цієї функціїв усіх точках.

Порівняння з функціями дійсної змінної

Для дійсних аналітичних функцій, на відміну від комплексних аналітичних (тобто голоморфних) функцій ці властивості не є вірними. Наприклад, розглянемо функцію

$f:(-1,1)\to (-1,1)\,$

задану як ƒ(x) = x³. Ця функція є ін'єктивною але її похідна є рівною 0 в точці x = 0, і її обернена функція не є аналітичною чи навіть диференційовною на всьому інтервалі  (−1, 1). Тому, якщо збільшити область визначення до відкритої підмножини G комплексної площини, вона не може бути ін'єктивною; у цьому випадку, наприклад f(εω) = f(ε) (де ω є примітивним коренем з 1 і ε є додатним цілим числом меншим, ніж радіус G як околу 0).

Властивості

• З теореми Гурвіца випливає, що якщо {f_k} є послідовністю голоморфних однолистих функцій на зв'язаній відкритій множині G і вони рівномірно сходяться на компактних підмножинах у G до голоморфної функції f, то f є або теж однолистою або константою.
• Якщо f є однолистою на одиничному крузі, тоді $f\in \ H^{p}$ для всіх $\ 0<p<{\frac {1}{2}},$ де $H^{p}$ позначають простори Гарді. Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга, то $\ln f\in \ H^{p}$ для всіх $p>0.$
• Нерівність Правітца: нехай $f(z)\in S$ і позначимо $M_{p}(r,f)=\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}$ для $0<p<\infty$ і $M_{\infty }(r,f)=\max _{|z|=r}|f(z)|.$ Тоді справедливою є нерівність:

$M_{p}^{p}(r,f)\leqslant p\int \limits _{0}^{r}{1 \over t}M_{\infty }^{p}(t,f)dt\quad 0<r<1.$

• Теорема де Бранже (гіпотеза Бібербаха): якщо функція $f(z)\in S$ і зокрема її розклад у ряд Тейлора має вигляд $f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n},$ то для коефіцієнтів ряду Тейлора виконуються нерівності $|a_{n}|\leqslant n\quad \forall \ n\geqslant 2.$ Приклад функції Кебе показує що значення у правій частині нерівностей є оптимальними.
• Теорема Літлвуда — Пелі: якщо функція $f(z)\in S$ є непарною, тобто її розклад у ряд Тейлора має вигляд $f(z)=z+\sum _{n\geq 1}a_{2n+1}z^{2n+1},$ то існує константа A, що не залежить від конкретної функції, така що для коефіцієнтів ряду Тейлора виконуються нерівності $|a_{2n+1}|\leqslant A.$
• Теорема Ґронвала про площу: якщо $g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots$ є однолистою в області |z| > 1 то:

$\sum _{n\geqslant 1}n|b_{n}|^{2}\leqslant 1.$

• Теорема Кебе про чверть: якщо функція $f(z)\in S$ то образ $f(\Delta )$ містить круг $\{w\ |\ |w|<{1 \over 4}\}$ з центром у точці 0 і радіусом 1/4. Приклад функції Кебе показує, що константу 1/4 утвердженні теореми не можна збільшити.
• Теорема Кебе про спотворення: нехай $f(z)\in S$ і r = |z|. Тоді

${r \over (1+r)^{2}}\leqslant |f(z)|\leqslant {r \over (1-r)^{2}}$

${1-r \over (1+r)^{3}}\leqslant |f^{\prime }(z)|\leqslant {1+r \over (1-r)^{3}}$

${1-r \over 1+r}\leqslant \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leqslant {1+r \over 1-r}$

До того ж рівності справджуються лише для узагальнених функцій Кебе.

• Теорема Каратеодорі про ядро: нехай $f_{n}\in S$ — послідовність функцій, $U_{n}=f_{n}(\Delta )$ — образи одиничного круга при дії цих функцій. Нехай $V_{n}$ позначає зв'язну компоненту, що містить 0 внутрішності перетину $\cap _{i=n}^{\infty }U_{n}.$ Ядром послідовності множин $U_{n}$ називається об'єднання усіх $V_{n}$ або точка $\{0\},$ якщо це об'єднання є порожньою множиною. Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність $f_{n}$ збігається рівномірно на компактах до функції f, якщо і тільки якщо послідовність множин $U_{n}$ збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій комплексній площині. Якщо ядро є рівним $\{0\}$ то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро U є зв'язаною відритою множиною, f є однолистою функцією і $U=f(\Delta ).$

• Нерівність Грунського: якщо функція $f(z)\in S$ то:

$\left|\log {z \over f(z)}\right|\leqslant \log {1+|z| \over 1-|z|}.$

• Критерій Неванлінни: якщо $f(z)\in S,$ то образ одиничного круга $f(\Delta )$ буде зірчатою областю щодо точки 0 тоді й лише тоді, коли дійсна частина функції $zf^{\prime }(z)/f(z)$ буде додатним числом для всіх $z\in \Delta .$

З іншого боку, якщо f є голоморфною на одиничному крузі, дійсна частина функції $zf^{\prime }(z)/f(z)$ є додатним числом для всіх $z\in \Delta$ і $f'(0)\neq 0$ то тоді $f(0)=0$ і f є однолистою на одиничному крузі.

• Теорема Грунського: якщо $f(z)\in S,$ то для всіх r ≤ tanh π/4, образ круга |z| < r при відображенні f є зірчатою областю щодо точки 0.

• Нерівність Голузіна: для функції $f(z),$ що є однолистою в області |z| > 1, якщо z_i є n різними точками із |z_i| > 1 і λ_i є довільними комплексними числами то:

$\left|\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{j}\log {g(z_{i})-g(z_{j}) \over z_{i}-z_{j}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\log {z_{i}{\overline {z_{j}}} \over z_{i}{\overline {z_{j}}}-1},$

Література

• Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Goodman, A.W. (1983), Univalent functions, т. I, Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-10-X
• Goodman, A.W. (1983), Univalent functions, т. II, Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-11-8
• Hayman, W. K. (1994) [1958], Multivalent functions, Cambridge Tracts on Mathematics, т. 110 (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. xii+263, ISBN 978-0-521-46026-2, MR 1310776, Zbl 0904.30001.
• Jenkins, James A. (1958), Univalent Functions and Conformal Mapping, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 18, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-88565-5
• Lehto, O. (1987), Univalent functions and Teichmuller spaces, Springer-Verlag, ISBN 9787506207324 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка).
• Milin, I. M. (1977) [1971], Univalent functions and orthonormal systems, Translations of Mathematical Monographs, т. 49, Providence, R.I.: American Mathematical Society, с. iv+202, ISBN 978-0-8218-1599-1, MR 0369684, Zbl 0342.30006
• Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, т. 15, Vandenhoeck & Ruprecht