Ряд Ліувілля — Неймана

Ряд Ліуві́лля — Не́ймана в інтегральному численні — нескінченний ряд, що відповідає розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма з неперервним малим ядром. Названий за іменами Жозефа Ліувілля і Карла Неймана.

Отримання ряду

Шукатимемо розв'язок рівняння Фредгольма

$u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)$

методом послідовних наближень, поклавши $u^{(0)}(x)=f(x)$:

$u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots$

Останній вираз у формулі є операторним записом інтеграла. Методом математичної індукції перевіряється така рівність:

$u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots$

Функція $(K^{p}f)(x)$ називають ітераціями. Можна показати, що всі ітерації неперервні й обмежені на $G$:

$\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,$

де $\mathrm {mes} \,G$ — міра множини $G$, а $M=\max _{G}|K(x,\;y)|$.

З цієї оцінки випливає, що ряд

$\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,$

називаний рядом Ліувілля — Неймана, мажорується числовим рядом

$\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},$

який збігається в крузі $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$, тому за таких $\lambda$ ряд Ліувілля — Неймана збігається регулярно (абсолютно і рівномірно). Це означає, що послідовні наближення $u^{(p)}(x)$ при $p\to \infty$ рівномірно прямують до шуканої функції $u(x)$.

Див. також

• Резольвента інтегрального рівняння
• Ряд Неймана

Література

• Владимиров В. С., Жаринов В. В.. Уравнения математической физики. — М. : Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.

Посилання

• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
• Fredholm, Erik I. (1903), Sur une classe d'equations fonctionnelles (PDF), Acta Mathematica, 27: 365—390, doi:10.1007/bf02421317