میدان

• لفظ میدان اور field کی تلاش یہاں لاتی ہے، میدان کے دیگر استعمالات کے لیے دیکھیے میدان (ضدابہام)

ریاضی میں میدان (Field) ایسے ارکان کے مجموعہ کو کہتے ہیں، جن میں جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عمل موجود ہوں۔ مثلاً عام اشاریہ اعداد ایک میدان بناتے ہیں جسے $\mathbb {R}$ کہا جاتا ہے۔ ایک میدان میں اگر دو رکن $\ a$ اور $\ b$ ہوں، تو ان کی جمع $\ a+b$ کو بھی اسی میدان کا رکن ہونا چاہیے۔ ہر میدان میں صفر ($\ 0$) بھی ایک رکن کے طور پر موجود ہونا چاہیے، جو اس مساوات کی تسکین کرے:

$\ a+0=a$

اس کے علاوہ ہر رکن کا "جمع اُلٹ" موجود ہونا چاہیے۔ رکن $\ a$ کا "جمعیاتی الٹ $\ -a$ اس مساوات کی تسکین کرے گا:

$\ a+(-a)=0$

(اس طرح تفریق کا عمل ممکن ہوتا ہے۔)

اسی طرح میدان میں اگر دو رکن $\ a$ اور $\ b$ ہوں، تو ان کی ضرب $\ a\times b$ کو بھی اسی میدان کا رکن ہونا چاہیے۔ میدان میں "ایک" ($\ 1$) کا رکن بھی موجود ہونا چاہیے۔ ہر رکن $\ a\neq 0$ کے لیے اس کا ضربی اُلٹ $\ a^{-1}$ بھی میدان میں ہونا چاہیے، جو اس مساوات کی تسکین کرے:

$\ a\times a^{-1}=1$

(اس طریقہ سے تقسیم کا عمل بھی ممکن ہوتا ہے۔)

مخلوط عدد بھی ایک میدان تشکیل دیتے ہیں، جسے $\mathbb {C}$ لکھا جاتا ہے۔

جامع تعریف:میدان ایک غیر خالی مجموعہ $\mathbb {F}$ کے عناصر جس میں دو عمل $+$ (جسے جمع کہتے ہیں) اور $\cdot$ (جسے ضرب کہتے ہیں) ہوں اور جو درجِ ذیل مسلمات کی تسکین کریں، کو کہتے ہیں۔ تمام عناصر $a,b,c\in \mathbb {F}$ کے لیے:

1. میدان $\mathbb {F}$ بند ہوتا ہے $+$ اور $\cdot$ کے حوالے سے، یعنی $a\cdot b$ اور $a+b$ عناصر ہوتے ہیں میدان $\mathbb {F}$ کے ۔
2. مبدلی قانون: $a+b=b+a$ اور $a\cdot b=b\cdot a$
3. مشارکی قانون: $(a+b)+c=a+(b+c)$ اور $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
4. توزیعی قانون: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

اس کے علاوہ میدان میں دو شناخت عناصر 0 اور 1 ہوتے ہیں (0 کو جمعیاتی شناخت کہتے ہیں اور 1 کو ضربی شناخت کہتے ہیں) جو درج ذیل کی تسکین کرتے ہیں:

1. $a+0=a$ تمام $a\in \mathbb {F}$ کے لیے
2. $a\cdot 1=a$ اور $a\cdot 0=0$ تمام $a\in \mathbb {F}$ کے لیے
3. کسی بھی $a\in \mathbb {F}$ کے لیے، اس عنصر کا جمعیاتی اُلٹ $\ (-a)$ بھی میدان کا عنصر ہو گا، ایسا کہ $\ a+(-a)=0$
4. کسی بھی غیر صفر عنصر $a\neq 0\,,a\in \mathbb {F}$ کے لیے، اس عنصر کا ضربی اُلٹ $a^{-1}$ بھی میدان کا عنصر ہو گا، ایسا کہ $a\cdot a^{-1}=1$

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

Field