Лоренс алмаштириш формулалари

 

Максвелл тенгламаларидан тортиб, Эйнштейннинг махсус нисбийлик постулатлари ва элементар алгебра ва гиперболик функсиялардан тортиб чизиқли алгебра ва гуруҳлар назариясига қадар бўлган математик воситалардан тортиб, турли физик принсиплардан фойдаланган ҳолда Лорентз ўзгаришларини олишнинг кўплаб усуллари мавжуд.

Ушбу мақола махсус нисбийлик контекстида кузатиш учун қулай бўлган бир нечтасини тақдим этади, стандарт конфигурациядаги Лорентз кучайишининг энг оддий ҳолати учун, яъни тезликдан камроқ доимий (бир хил) нисбий тезликда бир-бирига нисбатан ҳаракатланадиган иккита инертиал рамка ёруғлик ва х ва х ′ ўқлари коллинеар бўлиши учун Картезен координаталаридан фойдаланган ҳолда.

Замонавий физиканинг асосий соҳаларида, яъни умумий нисбийлик ва унинг кенг қўлланадиган махсус нисбийлик тўпламида, шунингдек релативистик квант механикаси ва релативистик квант майдон назариясида Лорентз трансформацияси трансформация қоидаси бўлиб, унга кўра барча тўрт вектор ва физик миқдорларни ўз ичига олган тенсорлар ўзгаради. бир мос ёзувлар рамкасидан бошқасига.

Бундай тўрт векторнинг асосий мисоллари заррачанинг тўрт позицияси ва тўрт моментуми, майдонлар учун эса электромагнит тенсор ва кучланиш-энергия тенсоридир. Бу об'эктларнинг Лорентз ўзгаришига кўра ўзгариши уларни векторлар ва тензорлар сифатида математик тарзда белгилайди.

Баъзи бир рамкадаги тўрт вектор ёки тенсорларнинг таркибий қисмларини ҳисобга олган ҳолда, "трансформация қоидаси" бир хил тўрт вектор ёки тенсорларнинг бошқа рамкадаги ўзгартирилган компонентларини аниқлашга имкон беради, улар кучайтирилиши ёки тезлаштирилиши мумкин, дастлабки рамкага нисбатан. "Боост" ни фазовий таржима билан аралаштириб юбормаслик керак, аксинча у кадрлар орасидаги нисбий тезлик билан тавсифланади. Трансформация қоидасининг ўзи рамкаларнинг нисбий ҳаракатига боғлиқ. Икки инертиал рамканинг энг оддий ҳолатида улар орасидаги нисбий тезлик трансформация қоидасига киради. Айланадиган мос ёзувлар рамкалари ёки умумий инертиал бўлмаган мос ёзувлар тизимлари учун нисбий тезлик (катталик ва йўналиш), айланиш ўқи ва бурчакни ўз ичига олган кўпроқ параметрлар керак бўлади.

Тарихий назар

Одатий тузатма (масалан, Алберт Эйнштейннинг асл иши) ёруғлик тезлигининг ўзгармаслигига асосланади. Бироқ, бу ҳар доим ҳам бошланғич нуқта эмас: ҳақиқатан ҳам (масалан, Ландау ва Лифшицнинг назарий физика курсининг иккинчи жилдида тасвирланганидек), ҳақиқатда ўзаро таъсирларнинг жойлашуви хавф остида: бир зарранинг, айтайлик, бошқасига таъсир қиладиган таъсири, бир зумда узатилиши мумкин эмас. Демак, ахборот узатишнинг назарий максимал тезлиги мавжуд бўлиб, у ўзгармас бўлиши керак ва бу тезлик вакуумдаги ёруғлик тезлигига тўғри келади. Нютоннинг ўзи узоқдан ҳаракат қилиш ғоясини фалсафий жиҳатдан "абсурд" деб атаган ва тортишиш маълум қонунларга кўра қандайдир восита томонидан узатилиши керак деб ҳисоблаган.

1964-йилги мақолада Эрик Кристофер Зеэман координата ўзгаришлари Лоренц ўзгаришлари эканлигини таъминлаш учун математик маънода ёруғлик тезлигининг ўзгармаслигидан кўра заифроқ бўлган сабаб -оқибатни сақловчи хусусият этарли эканлигини кўрсатди. Норман Голдштейннинг қоғози шунга ўхшаш натижани сабаблик эмас, балки инертиаллик (вақтга ўхшаш чизиқларнинг сақланиши) ёрдамида кўрсатади.

Физик принсиплар

Эйнштейн махсус нисбийлик назариясини иккита асосий постулатга асослаган эди. Биринчидан, барча физик қонунлар нисбий ҳаракат ҳолатидан қат’ий назар барча инерциал саноқ системалари учун бир хил. Иккинчидан, ёруғликнинг бўш фазодаги тезлиги барча инертиал саноқ системаларида бир хил бўлади, яна ҳар бир саноқ системасининг нисбий тезлигидан қатъий назар. Лоренц конвертацияси асосан ушбу иккинчи постулатнинг бевосита натижасидир.

Иккинчи постулат

Ёруғлик тезлигининг мос ёзувлар тизимига боғлиқ бўлмаган доимийлигини кўрсатадиган махсус нисбийликнинг иккинчи постулатини қабул қилинг ва бир-бирига нисбатан доимий тезлик билан ҳаракатланадиган, яъни инертиал тизимлар тўпламини кўриб чиқинг, уларнинг ҳар бири ўз Декарт тўпламига эга. нуқталарни, яъни фазо-вақт ҳодисаларини белгиловчи координаталар . Ёруғлик тезлигининг ўзгармаслигини математик шаклда ифодалаш учун фазо-вақтдаги иккита ҳодисани аниқланг, улар ҳар бир мос ёзувлар тизимида қайд этилади. Биринчи ҳодиса ёруғлик сигналининг эмиссияси, иккинчиси эса унинг сўрилиши бўлсин.

Тўпламдаги ҳар қандай мос ёзувлар рамкасини танланг. Унинг координаталарида биринчи ҳодисага координаталар тайинланади $x_{1},y_{1},z_{1},ct_{1}$ ва иккинчиси $x_{2},y_{2},z_{2},ct_{2}$ . Эмиссия ва ютилиш орасидаги фазовий масофа ${\textstyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$, лекин бу ҳам масофа $c(t_{2}-t_{1})$ сигнал орқали ҳаракатланади. Шундай қилиб, тенгламани ўрнатиш мумкин

$c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0.$

Ҳар бир бошқа координата тизими ўз координаталарида бир хил тенгламани ёзиб олади. Бу ёруғлик тезлигининг ўзгармаслигининг бевосита математик натижасидир. Чапдаги миқдор фазовий вақт оралиғи деб аталади. Интервал ёруғлик сигналлари билан ажратилган ҳодисалар учун барча мос ёзувлар рамкаларида бир хил (нол) бўлади ва шунинг учун ўзгармас деб аталади.

Интервалнинг ўзгармаслиги

Лорентз ўзгариши табиат томонидан амалга оширилган жисмоний аҳамиятга эга бўлиши учун интервал фақат ёруғлик сигналлари билан ажратилган ҳодисалар учун эмас, балки ҳар қандай иккита ҳодиса учун ўзгармас ўлчов бўлиши жуда муҳимдир. Буни аниқлаш учун чексиз кичик оралиқ ҳисобга олинади, $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},$ тизимда қайд этилганидек $K$ . Майли $K'$ интервални тайинлайдиган бошқа тизим бўлсин $ds'^{2}$ бир хил икки чексиз ажратилган ҳодисага. Чунки агар $ds^{2}=0$, кейин интервал бошқа ҳар қандай тизимда ҳам нолга тенг бўлади (иккинчи постулат) ва бери $ds^{2}$ ва $ds'^{2}$ бир хил тартибдаги чексиз кичиклар, улар бир-бирига пропорционал бўлиши керак,

$ds^{2}=ads'^{2}.$

Нима бўлиши мумкин $a$ боғлиқми? Бу икки ҳодисанинг фазо-вақтдаги позицияларига боғлиқ бўлмаслиги мумкин, чунки бу фазовий вақтнинг постулацияланган бир хиллигини бузади. Бу нисбий тезликка боғлиқ бўлиши мумкин $V'$ орасида $K$ ва $K'$, лекин фақат тезлик бўйича, йўналиш бўйича эмас, чунки иккинчиси космоснинг изотропиясини бузади.

Энди тизимларни киритинг $K_{1}$ ва $K_{2}$,

$ds^{2}=a(V_{1})ds_{1}^{2},\quad ds^{2}=a(V_{2})ds_{2}^{2},\quad ds_{1}^{2}=a(V_{12})ds_{2}^{2}.$

Булардан келиб чиқадики,

${\frac {a(V_{2})}{a(V_{1})}}=a(V_{12}).$

Энди ўнг томонда буни кузатиш мумкин $V_{12}$ иккаласига боғлиқ $V_{1}$ ва $V_{2}$; шунингдек векторлар орасидаги бурчакда ${\textbf {V}}_{1}$ ва ${\textbf {V}}_{2}$ . Бироқ, чап томоннинг бу бурчакка боғлиқ эмаслиги ҳам кузатилади. Шундай қилиб, тенглама тўғри бўлишининг ягона йўли бу функсиядир $a(V)$ доимий ҳисобланади. Бундан ташқари, худди шу тенглама бўйича бу доимий бирликдир. Шундай қилиб,

$ds^{2}=ds'^{2}$

барча тизимлар учун $K'$. Бу барча чексиз кичик интерваллар учун амал қилганлиги сабабли, у барча интерваллар учун амал қилади.

Лорентз ўзгаришларининг барча бўлмаса ҳам, кўпчилик ҳосилалари буни одатий ҳол сифатида қабул қилади. Ушбу ҳосилаларда улар фақат ёруғлик тезлигининг доимийлигидан (нурга ўхшаш ажратилган ҳодисаларнинг ўзгармаслиги) фойдаланадилар. Бу натижа Лоренц трансформациясининг тўғри трансформация эканлигини таъминлайди.

Қаттиқ баёнот ва дс² ва дс′² мутаносиблигини исботлаш

Изоҳлар.

• Юқоридаги бўлимда "чексиз кичик" атамаси билан боғлиқ $ds^{2}$ аслида тўрт ўлчовли ҳақиқий вектор фазоси (яъни фазо-вақт манифолдининг нуқтасидаги тангенс фазо) устидаги квадратик шаклга (нуқта йўналиши бўйича) ишора қилади. Юқоридаги аргумент Ландау ва Лифшицдан деярли сўзма-сўз кўчирилган, бу ерда пропорционаллик $ds^{2}$ ва $ds'^{2}$ Бу гап математик жиҳатдан аниқ шакллантирилмаган ва исботланмаган бўлса ҳам, шунчаки "равшан" факт сифатида ифодаланади. Бу оқланиши керак бўлган аниқ бўлмаган математик факт; Яхшиямки, далил нисбатан содда ва у асосий алгебраик кузатишлар ва манипуляцияларни ташкил қилади.
• Юқоридаги тахминлар $h$ қуйидагиларни англатади: $h:V\times V\to \mathbb {R}$ симметрик ва дегенератив бўлмаган икки чизиқли шакл бўлиб, тартибли асос мавжуд. $\{v_{1},\dots ,v_{n},v_{n+1},\dots ,v_{d}\}$ нинг $V$ бунинг учун$$h(v_{a},v_{b})={\begin{cases}-1&{\text{if }}a=b\in \{1,\dots ,n\}\\1&{\text{if }}a=b\in \{n+1,\dots ,d\}\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$$
• бу ерда махсус ҳолатни кўриб чиқсак $n=1,p=3$ кейин биз нисбийлик асоси бўлган 4 ўлчовли Лоренциан имзосининг ҳолати билан шуғулланамиз (ёки умумий минус белгиси билан қарама-қарши конвенцияни қабул қилиш мумкин; лекин бу теореманинг ҳақиқатига таъсир қилмайди). Бундан ташқари, бу ҳолатда, агар биз тахмин қилсак $g$ ва $h$ иккаласи ҳам бир хил нулл тўпламга эга квадратик шаклларга эга (физика терминологиясида биз буни айтамиз $g$ ва $h$ бир хил ёруғлик конусини келтириб чиқаради) у ҳолда теорема бизга доимий борлигини айтади $C>0$ шу каби $g=Ch$ . Белгиланишдаги баъзи фарқларни модуллаш, юқоридаги бўлимда айнан шу нарса ишлатилган.

Теоремани исботлаш.

Асосни тузатиш $\{v_{1},\dots ,v_{d}\}$ нинг $V$ қайсига нисбатан $h$ матрицали тасвирга эга $[h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}$ . Гап шундаки, вектор фазоси $V$ пастки фазоларга парчаланиши мумкин $V^{-}$ (биринчисининг оралиғи $n$ базис векторлари) ва $V^{+}$ (кейин иккинчисининг оралиғи $p$ базис векторлари) шундайки, ҳар бир вектор ичида $V$ каби ноёб тарзда ёзилиши мумкин $v+w$ учун $v\in V^{-}$ ва $w\in V^{+}$ ; бундан ташқари $h(v,v)\leq 0$, $h(w,w)\geq 0$ ва $h(v,w)=0$ . Шундай қилиб (бинолик бўйича)

$h(v+w,v+w)=h(v,v)+h(w,w)$

Ўнгдаги биринчи йиғинди ижобий бўлмаганда, иккинчиси эса салбий бўлмаганда, ҳар қандай учун $v\in V^{-}$ ва $w\in V^{+}$, биз скалярни топишимиз мумкин $\alpha$ шу каби $h(v+\alpha w,v+\alpha w)=0$ .

Бундан буён ҳар доим ўйлаб кўринг $v\in V^{-}$ ва $w\in V^{+}$ . Иккилик билан

${\begin{aligned}g(v+w,v+w)&=g(v,v)+g(w,w)+2g(v,w)\\g(v-w,v-w)&=g(v,v)+g(w,w)-2g(v,w)\end{aligned}}$

Агар $h(v+w,v+w)=0$, кейин ҳам $h(v-w,v-w)=0$ учун ҳам худди шундай $g$ (нол тўпламидан бери $h$ таркибида мавжуд $g$). Бундай ҳолда, юқоридаги иккита ифодани айириш (ва 4 га бўлиш) ҳосил бўлади

$0=g(v,w)$

Юқоридаги каби, ҳар бири учун $v\in V^{-}$ ва $w\in V^{+}$, скаляр мавжуд $\alpha$ шу каби $h(v+\alpha w,v+\alpha w)=0$, шундай $g(v,\alpha w)=0$, бу икки чизиқлиликни англатади $g(v,w)=0$.

Энди нолга тенг бўлмаганини кўриб чиқинг $v,v'\in V^{-}$ шу каби $h(v,v)=h(v',v')$ . Биз топамиз $w\in V^{+}$ шу каби $0=h(v+w,v+w)=h(v,v)+h(w,w)=h(v'+w,v'+w)$ . Юқоридаги ибораларга кўра,

$g(v,v)=-g(w,w)=g(v',v')$

Аналог тарзда, учун $w,w'\in V^{+}$, агар буни кўрсатиш мумкин $h(w,w)=h(w',w')$, кейин ҳам $g(w,w)=g(w',w')$ . Шундай қилиб, у барча векторлар учун амал қилади $V$.

Учун $u,u'\in V$, агар $g(u,u)=Ch(u,u)\neq 0$, $g(u',u')=C'h(u',u')\neq 0$ баъзилар учун $C,C'\in \mathbb {R}$, биз (агар керак бўлса, улардан бирини масштаблаш) тахмин қилишимиз мумкин $h(u,u)=h(u',u')$, бу юқоридаги маънони англатади $C=C'$ . Шундай қилиб $g=Ch$.

Ниҳоят, агар биз буни тахмин қилсак $g,h$ иккаласи ҳам имзо турларига эга $(n,p)$ ва $n\neq p$ кейин $C>0$ (бизда мумкин эмас $C=0$ чунки бу дегани $g=0$ Имзо турига эга бўлгани учун бу мумкин эмас $(n,p)$ нолга тенг бўлмаган икки чизиқли шакл эканлигини билдиради. Бундан ташқари, агар $C<0$, кейин бу дегани $g$ эга $n$ ижобий диагонал ёзувлар ва $p$ салбий диагонал ёзувлар; яъни имзоси бор $(p,n)\neq (n,p)$, биз тахмин қилганимиздан бери $n\neq p$, шунинг учун бу ҳам мумкин эмас. Бу бизни қолдиради $C>0$ ягона вариант сифатида). Бу теоремани исботлашни тугатади.

Стандарт конфигурация

Ҳар бир кузатувчи томонидан инертиал мос ёзувлар тизимида (стандарт конфигурацияда) о'лчанадиган ҳодисанинг фазо-вақт координаталари нутқ пуфакчаларида ко'рсатилган.
Юқори: Ф ′ рамка Ф рамканинг х о'қи бо'йлаб в тезликда ҳаракат қилади.
Пастки: Ф рамка Ф ′ рамкасининг х ′-о'қи бо'йлаб − в тезликда ҳаракат қилади.

Инвариант интервални фазода мусбат бўлмаган аниқ масофа функсияси сифатида кўриш мумкин. Қидирилаётган ўзгаришлар тўплами бу масофани ўзгармас қолдириши керак. Малумот тизими координата тизимининг картезиан хусусиятидан келиб чиққан ҳолда, Эвклид мисолида бўлгани каби, мумкин бўлган ўзгаришлар таржималар ва айланишлардан иборат, деган хулосага келади, бу ерда айланиш атамаси учун бироз кенгроқ маънога рухсат берилиши керак.Интервал таржима остида жуда ўзгармасдир. Айланиш учун тўртта координата мавжуд. Демак, олтита айланиш текислиги мавжуд. Улардан учтаси фазовий текисликларда айланишдир. Оддий айланишларда ҳам интервал ўзгармасдир.

Қолган учта координата текислигида интервални ўзгармас қолдирадиган "айланиш" ни топиш қолади. Шу билан бирга, ҳаракатланувчи рамкага мос келадиган координаталар билан мос келадиган координаталарни белгилаш йўлини топиш.

Умумий муаммо шундай трансформацияни топишдир

${\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}.\end{aligned}}$

Умумий муаммони ҳал қилиш учун таржималар ва оддий айланишлар оралиғининг ўзгармаслиги ҳақидаги билимлардан фойдаланиб, умумийликни йўқотмасдан, Ф ва Ф′ рамкалар уларнинг координата ўқлари ҳаммаси бўладиган тарзда текисланган деб тахмин қилиш мумкин. т = т′ = 0 да учрашади ва х ва х′ ўқлари доимий равишда текисланади ва Ф′ тизими мусбат х-ахис бўйлаб В тезликка эга. Буни стандарт конфигурация деб номланг. Бу шундай трансформацияни топиш учун умумий муаммони камайтиради

$c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}=c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}.$

Қуйидаги мисолларнинг аксариятида стандарт конфигурация қўлланади. Оддийроқ муаммонинг чизиқли ечими

$(ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}$

умумий муаммони ҳал қилади, чунки координаталар фарқлари худди шу тарзда ўзгаради. Линеэрлик кўпинча адабиётда ушбу оддийроқ муаммо кўриб чиқилаётганда қандайдир тарзда тахмин қилинади ёки муҳокама қилинади. Агар оддийроқ муаммонинг ечими чизиқли бўлмаса, квадратларни кенгайтиришда кўндаланг атамалар пайдо бўлгани учун у асл масалани ҳал қилмайди.

Ечимлар

Юқорида айтиб ўтилганидек, умумий муаммо фазодаги таржималар орқали ҳал қилинади. Улар қўйилган оддийроқ муаммонинг ечими сифатида кўринмайди, бироқ кучайтиргичлар (ва баъзан ҳужум бурчагига қараб айланишлар). Агар фақат ёруғликка ўхшаш ажратилган ҳодисалар учун интервалнинг ўзгармаслигини талаб қилса, янада кўпроқ эчимлар мавжуд. Булар чизиқли бўлмаган конформал ("бурчакни сақлайдиган") трансформациялардир. Бирида бор.

Физиканинг баъзи тенгламалари конформал инвариантдир, масалан, манбасиз фазодаги Максвелл тенгламалари, лекин ҳаммаси эмас. Космосдаги конформал ўзгаришларнинг долзарблиги ҳозирча маълум эмас, лекин икки ўлчовдаги конформал гуруҳ конформал майдон назарияси ва статистик механикада жуда долзарбдир. Шундай қилиб, махсус нисбийлик постулатлари томонидан алоҳида ажратилган Пуанкаре гуруҳидир. Бу уни Галилей нисбийлигининг Галилей гуруҳидан ажратиб турадиган оддий кучайтиргичлардан фарқли ўлароқ, Лорентз кучайтиргичларининг мавжудлиги (бунинг учун тезликни қўшиш ёруғлик тезлигидан каттароқ тезликни таъминлайдиган оддий вектор қўшилишидан фарқ қилади). Фазовий айланишлар, фазовий ва вақтинчалик инверсиялар ва таржималар иккала гуруҳда ҳам мавжуд ва иккала назарияда ҳам бир хил оқибатларга олиб келади (импулс, энергия ва бурчак моментумининг сақланиш қонунлари). Ҳамма қабул қилинган назариялар инверсия остидаги симметрияни ҳурмат қилмайди.

Фазовий вақт геометриясидан фойдаланиш

Ландау ва Лифшитз ечими

Ушбу учта гиперболик функсия формулалари (Ҳ1 – Ҳ3) қуйида келтирилган:

1. $\cosh ^{2}\Psi -\sinh ^{2}\Psi =1,$
2. $\sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},$
3. $\cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},$

Астарланган координаталар ҳаракатланувчи тизимга тегишли бўлган х-диреcтион кучайтириш учун стандарт конфигурацияда қўйилган муаммо оддийроқ муаммонинг чизиқли эчимини топиш орқали ҳал қилинади.

$(ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}.$

Энг умумий ечим, (Ҳ1) ёрдамида тўғридан-тўғри алмаштириш орқали тасдиқланиши мумкин,

$x=x'\cosh \Psi +ct'\sinh \Psi ,\quad ct=x'\sinh \Psi +ct'\cosh \Psi .$ $x=x'\cosh \Psi +ct'\sinh \Psi ,\quad ct=x'\sinh \Psi +ct'\cosh \Psi .$

Ψ нинг жисмоний шароитдаги ролини топиш учун Ф′ нинг келиб чиқиши прогрессиясини ёзинг, яъни х′ = 0, х = вт . Тенгламалар бўлади (биринчи х′ = 0 дан фойдаланган ҳолда),

$x=ct'sinh\Psi ,\quad ct=ct'cosh\Psi .$

Энди ажратинг:

${\frac {x}{ct}}=\tanh \Psi ={\frac {v}{c}}\Rightarrow \quad \sinh \Psi ={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},$

Бу ерда биринчи босқичда х = вт, иккинчисида (Ҳ2) ва (Ҳ3) ишлатилган, бу эса қайта уланганда (1) беради

$x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},$

ёки одатдаги қисқартмалар билан,

$x=\gamma (x'+vt'),\,\,t=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right),\quad x'=\gamma (x-vt),\,\,t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right).$

Манбалар

• Греинер, W.; Бромлей, Д. А.. Релативистиc Қуантум Мечаниcс, 3рд, спрингер, 2000. ИСБН 9783540674573. 
• Ландау, Л.Д.; Лифшитз, Э.М.. Тҳе Cлассиcал Тҳеорй оф Фиэлдс, 4тҳ, Cоурсе оф Тҳеоретиcал Пҳйсиcс, Буттерwортҳ–Ҳеинеманн, 2002. ИСБН 0-7506-2768-9. 
• Wеинберг, С. (2002), Тҳе Қуантум Тҳеорй оф Фиэлдс, 1-жилд, Cамбридге Университй Пресс, ИСБН 0-521-55001-7